我流の素数が無限に存在することの証明

  • 公開日時: 2017/03/30 16:49
  • 閲覧数: 361
  • コメント数: 4
  • カテゴリ: 研究・考察

 

 

 

有名な証明方法かもしれませんが思いついたので投稿します。と言っても途中までしかできていません。

 

 

 

素数がa,b2個しかないとし、abとする

 

素因数分解の一意性より、すべての自然数がa^x×b^yの形で表せることになる

 

a^38(素数は必ず2以上なので)より、a^x×b^y8より小さいときx+y2でなければならない

 

x+y2を満たす(x,y)の組は(0,0),(1,0),(0,1),(2,0),(1,1),(0,2)6組しかなく、8より小さい自然数は7個あるので、8より小さくx+y2になっている数が存在することになり矛盾

 

よって素数は2個より多い

 

 

 

このやり方を素数が3個以上のときに使います

 

素数がx個しかないと仮定し、そのなかで一番小さい素数をaとする

 

a^(y+1)2^(y+1)より、2^(y+1)より小さい数は全て因数がy個以下でなければならない

 

素数がx個しかない場合の、因数がy個以下の数の総数を記号で書くと、

 

重複組合せの公式より、(x+y)Cyである

 

(x+y)Cy2^(y+1)-1になるようなyが、xがいくつのときも存在することを証明すればよい

 

x=1のときy=1,x=2のときy=2,x=3のときy=5,x=4のときy=9で、(x+y)Cy2^(y+1)-1になっている

 

xがいくつの場合にも(x+y)Cy2^(y+1)-1になるようなyが存在するだろうと思っていますが、証明できていないので証明できる方いたらお願いします

 

 

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No メッセージ 投稿者 日時    
1
いま y ≒ kx とおき、スターリングの近似式を使うと

[式:…]
[式:…]
[式:…]

[式:…]
となります。
そこで、指数x の底を見比べて、
[式:…]
とおきます。
[式:…]
ですから、左辺は
[式:…]
したがって移項すれば
[式:…]
この辺はちょっと技巧(?)ですが....
[式:…]
よって
[式:…]
y = 4x ぐらいで十分だろうなぁ...


[式:…]
------------------------------------
(略証) x についての帰納法による。

・x=1 (y=4) のときは
[式:…]

・ある自然数 x に対して成立したと仮定する。
右辺の [式:…] はxが増えるとともに 2^4=16倍ずつ(よりちょっと大きめに)増える。一方:

[式:…]

[式:…]

だから、y=4xを保ちつつxを増やすと、ますます差が開く。
∴ x+1 に対しても成立する。(終)

やっぱりユークリッドの方がええわ。
prime_132 さん 2017/04/02 14:38:11 報告
2
prime_132さん、ありがとうございます

このやり方で証明できるらしいので嬉しいです
今の僕には難しくてなかなか理解できないので、読み返して理解できるよう頑張ります
水宮うみ さん 2017/04/02 17:34:49 報告
3
右辺の [式:…][式:…] が増えるとともに2倍ずつ(よりちょっと大きめに)増える。一方:
   [式:…]
だから [式:…] を固定して [式:…] を増やすと上の比は [式:…] に近づき、左辺の増え方は頭打ちになる。したがっていずれは右辺が左辺を追い越す。
平賀 譲 さん 2017/04/02 20:53:49 報告
4
平賀 譲さん

成る程、理解できました ありがとうございます!
水宮うみ さん 2017/04/02 21:00:32 報告