『大学への数学』 2016年2月号より (Re:果たしてこの解答で・・・(2017 早稲田 理工 5))

平賀 譲 さん

  • 公開日時: 2017/03/24 22:42
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  • カテゴリ: 入試・教育

【大学への数学 2016年2月号 pp.80-81:「学力コンテスト 12月号の解答」問題3】

galois_ページ_1.jpg

 

【大学への数学 2016年2月号 p.86: 横戸宏紀「学コン・こぼれ話『巡回する解』」】

 

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13
問題
x^3-3*x-1=0の解の一つの解をαとする。この時,他の解は 2-α^2,α^2-α-2であることを示せ。

          なる 直前の 上の問題について 
解答
x=2-α^2とx=α^2-α-2をx^3-3*x-1=0に代入して成り立てば
>バカでも解ける問題なのでしょう
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
        と 【辛辣な】ご指摘を いただいてしまいました。
              容易すぎてごめんなさい。
              
        で ほんの少し次数をあげ酷似の問を記します ;
        
      x^5+x^4-4 x^3-3 x^2+3 x+1=0 の一つの解をαとする。

● この時,他の解 は αの4次以下 の 多項式gj[α]∈Q[α] で表されると少女 A.

     実際に  多項式gj[α]達の 導出方法を明記し  導出願います。
@t さん 2017/04/08 23:54:44 報告
14
 早稲田の http://nyushi.nikkei.co.jp/honshi/17/w09-21p.pdf#page=3

  を 解くと 【解達を 亘り 尽す】■ g[α]=(-1)/(α+1) ■  が 
  
   なんと 与えられている! こと が 判明す。 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
   先の  問題 に ついても 然り;
  
x^3-3*x-1=0の解の一つの解をαとする。この時,他の解は g[α]=2-α^2,α^2-α-2であることを示せ。

<-----■それを言っちゃあ、おしまいよ。■

          なる 直前の 上の問題について 
解答
x=2-α^2とx=α^2-α-2をx^3-3*x-1=0に代入して成り立てば
>バカでも解ける問題なのでしょう
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
        と 【辛辣な】ご指摘を いただいてしまいました。
              容易すぎてごめんなさい。
   ==================================================================
  
  
  
  少女 A が 【解達を 亘り 尽す】 模倣犯になり ↓問を 創作した;

(1)   5次方程式 x^5+x^4-4 x^3-3 x^2+3 x+1=0 の 解をαとし

σ[α]=-α^4-α^3+3*α^2+2*α-1 を 定義するとき

 αを通る 群<σ> の 軌道 {α,σ[α],σ[σ[α]],σ[σ[σ[α]]],σ[σ[σ[σ[α]]]] }
 
は σ[σ[σ[α]]] 達を求め 5次方程式の【解達を 亘り 尽す】ことを 証明願います;
 
 
(2) σ[α]=-α^4-α^3+3*α^2+2*α-1 と 少女A が 明記していますが

導出法を 忖度し 赤裸々に 晒して 下さい;
@t さん 2017/04/09 14:51:53 報告
15
 世間の誰もが「低次ねぇ」と云う 3次方程式 x^3-57*x^2+504*x-969=0 の解を αとする とき 

     他の解は Q[α]の2次以下の元と表現 可能なることを
      
  発想イ: ↓の ■東大出題者の発想 に 倣い 丁寧に示して下さい;  
  
http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/006/149180333404593232180.gif


  発想ロ; 其れとは 独立 に ■早稲田に倣い 導出過程を 明記し 

   他の解を Q[α]の2次以下の元と表現 願います;
@t さん 2017/04/10 15:57:57 報告
16


http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/006/149180333404593232180.gif

    「ちょうちょ、ちょうちょ、菜の葉にとまれ、菜の葉にあいたら桜にとまれ」

   「3次の 東大 や 早稲田 の ↑問達 に 飽いたら, 4次方程式に とまれ;」

x^4-68 x^3+1438 x^2-10988 x+22831=0の解をαとすると

(1) σ[α]=(25*α^3)/10033-(603*α^2)/10033-(19806*α)/10033+5481/127

も 解  (<-----おい おい おまえもかい!)  を

    多様な発想で示して下さい;

(2) ↑ の  「 σ[α] を いっちゃあ おしめーよ」 で せう。

       で 上の σ[α] を みて みぬ ふり を し

https://www.google.co.jp/search?q=%E3%81%BF%E3%81%A6%E3%80%80%E3%81%BF%E3%81%AC%E3%80%80%E3%81%B5%E3%82%8A&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwikx73I85nTAhXFurwKHbPRD_EQ_AUIBigB&biw=1280&bih=536#spf=1


■ 4つの解の Q[α]の3次以下の元表示 を 導出法を 明記し お願いします。

(其の際 東京大學 の 出題者の 模倣 を する人が 世界に存在しますか?)

@t さん 2017/04/10 23:15:42 報告
17

  昨日 さるかた 【然る方】が 問題を創作され 自ら 解かれた;
 http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/006/149195987186991674180.gif
 
  長いのが好きな方も そうでない方も 時計で測り 上を 味読願います。解読時間;_____.
 
       問題を観た刹那 「其れは自明!」 と 云う人が存在します。
 
 ● その方は 「何故 自明!」と 断言したのか 忖度し 解説願います;
 
 
 
 ■ α^3-57*α^2+504*α-969=0 の 時, 上の創作者に倣い d に該当するものを定義し
 
         「あっちゅう間に 解決願います」
 
 
 
 
@t さん 2017/04/12 17:41:39 報告
18
    x^8 - 40 x^6 + 352 x^4 - 960 x^2 + 576 = 0  の一つの解をαとする。

● この時,他の解 は αの 7次以下 の 多項式 gj[α]∈Q[α] で表されると少女 A.

     実際に  多項式gj[α]達の 導出方法を明記し  導出願います;
     
■ 1/α の 分母の有理化を 多様な発想で願います;

▲ 二重根号  解 が 在れば 「はずして下さい」
@t さん 2017/04/19 20:36:10 報告
19
      
Q係数既約3次方程式 f(x)=0 の解をαとする.σ[α]=-α^2+3*α+1 とする。

     f(x) の ガロア群 が  易しい {σ,σ^2, e }(盥回し) のとき,

〇 f(x) を 求めて下さい;


↓の 早稲田に 倣い 【獲た f(x)=0 の解達を 亘り 尽す】

■ g[α]=(a*α+b)/(c*α+d) ■ を 求めて下さい;


^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
早稲田の http://nyushi.nikkei.co.jp/honshi/17/w09-21p.pdf#page=3

  を 解くと 【解達を 亘り 尽す】■ g[α]=(-1)/(α+1) ■  が 
  
   なんと 与えられている! こと が 判明す。 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
日本経済新聞社は、2017年度大学入試センター試験と、東京大学など主な国公立大学の2次試験、早稲田大学、慶應義塾大学など私立大学の入学試験について、問題・解答・分析を速報します。
       解答と分析は、河合塾の協力を得てお伝えします。

      だそうで  上の pdf は 消え去る のかも 知れぬ。


@t さん 2017/04/20 18:39:08 報告
20
平賀先生、資料を有難うございます。

記事の結論、
「差積が有理数 ⇔ 3解が巡回する 
であることが・・・容易に・・・わかります。」
についてうすぼんやりと考えてみました。

・差積が有理数 ⇒ 3解が巡回する
まさに学コンこぼれ話に示されているとおり、差積が有理数(判別式が平方数)ならば、分解体 [式:…] について [式:…] が成り立つので、[式:…][式:…][式:…] 次ガロア拡大。
位数が [式:…] の群は巡回群しかないので、ガロア群は [式:…] となり、解は同型写像によって巡回する、ということでしょうか。
正直、こんなことを学コンの問題にするんかい!と驚きました。

・3解が巡回する ⇒ 差積が有理数
3解が巡回するとき、[式:…] はガロア拡大で、[式:…] となる。
記事に書いてあるように、差積 [式:…] について、[式:…] ですが、さらに [式:…] も成り立つので、[式:…][式:…] の不変体 [式:…] の元である、ということかな?(自信なし)。
この ⇒ は平易な問題文に書き直せそうですが、高校生が証明するのはたしかに難しそうです。
アンドロメダ さん 2017/04/25 00:00:23 報告
21
任意の正の実数 x, y, z について 
Sqrt[x] + Sqrt[y] + Sqrt[z] <=
K*Sqrt[Sqrt[3] x + Sqrt[2] y + z] を満たす Kの最小値kを求めよ;

kのQ上の最小多項式f(x) を求めて, そのガロア群をお願い致します;

@t さん 2017/04/25 11:11:48 報告
22
  
   少女 A が 【解達を 亘り 尽す】 模倣犯になり ↓問を 創作した;

(1)   5次方程式 x^5+x^4-4 x^3-3 x^2+3 x+1=0 の 解をαとし

σ[α]=-α^4-α^3+3*α^2+2*α-1 を 定義するとき

 αを通る 群<σ> の 軌道 {α,σ[α],σ[σ[α]],σ[σ[σ[α]]],σ[σ[σ[σ[α]]]] }
 
は σ[σ[σ[α]]] 達を求め 5次方程式の【解達を 亘り 尽す】ことを 証明願います;
 
 
(2) σ[α]=-α^4-α^3+3*α^2+2*α-1 と 少女A が 明記していますが

導出法を 忖度し 赤裸々に 晒して 下さい;

---------- 以上 再掲---------------------------------------------

 
       上の 少女 A に 倣い;
      
      5-1 次方程式 x^4+x^3-6 x^2-x+1=0 の 解をαとし

巧く αの3次以下の式 σ[α]=__________________∈Q[α] を 定義し

 αを通る 群<σ> の 軌道 {α,σ[α],σ[σ[α]],σ[σ[σ[α]]] }
 
は σ[σ[α]] 達を求め 5-1 次方程式の【解達を 亘り 尽す】ことを 証明願います; 
  
  
@t さん 2017/04/25 20:55:21 報告