自然数、小数部分、積分

  • 公開日時: 2017/03/20 14:00
  • 閲覧数: 676
  • コメント数: 6
  • カテゴリ: 入試・教育

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1
[式:…]

I(km,kn) = I(m,n)
m,nの公約数dについて、I(m,n) = I(m/d,n/d)
から、g/L で決まると予想されます。
[式:…]
prime_132 さん 2017/03/23 03:29:52 報告
2
すみません、勘違いしてたかもしれないです…。
  [式:…]
を示すのと同じくらいの話かも?
アンドロメダ さん 2017/03/24 00:08:01 報告
3
( )内の鋸歯形状は周期1をもつ奇関数なのでsin級数に展開すると
[式:…]

[式:…]

辺々掛けると、積和公式から
[式:…]

[式:…]

これを積分すると、sin の直交性から
[式:…] (上記) [式:…]
[式:…]
km = k'n は {m,n} の公倍数、つまりLの倍数ですね。
そこで km = k'n = jL (ただしj=1,2,…)とおくと、与式は
[式:…]
となり、>>2 とも合います。

ごつい解で、すんません。
prime_132 さん 2017/03/24 04:51:41 報告
4
>>1
互いに素な [式:…] に対して、
  [式:…]
って簡単に示せますか?
アンドロメダ さん 2017/03/24 18:05:38 報告
5
>>3

ありゃりゃん。問題を見た第一印象は、「信号処理で言えば、鋸歯状波の相関というか内積だよね」というもの。その意味で、「ごつい解」として思いつくのが prime_132さんの書いているようなフーリエ展開(&三角関数の直交性)を用いる方法ですね。

もっと直接的にやるなら(これもごついけど)。
まず簡単のために [式:…] は互いに素、つまり [式:…] とします。
1周期分の関数をそれぞれ [式:…] とします:
   [式:…]
   [式:…]

それぞれの区間を [式:…]等分、[式:…]等分し(=それぞれの幅は [式:…])、それを同じ区間の上に縦一列に並べた関数を下から順に
   [式:…]
   [式:…]
とすれば、[式:…] は1次関数だから:
   [式:…]
   [式:…]
つまり [式:…][式:…] をそれぞれ縦に平行移動したものです。

与式:
   [式:…]
の区間 [式:…][式:…] 等分すると、それぞれの区間における被積分関数は [式:…] のすべての組み合わせが1回ずつ出てきます([式:…] は互いに素だから)。そこで積分区間を [式:…] にまとめてしまうと:
   [式:…]
     [式:…]
     [式:…]
     [式:…]
ここで
   [式:…]
   [式:…]
を代入すると:
   [式:…]

この形にできることが prime_132 さんの >>1 につながります。

[式:…] の場合は区間 [式:…] で上で見た1周期分が [式:…] 回繰り返されるので容易にわかります。
平賀 譲 さん 2017/03/24 19:09:49 報告
6
なるほど。すでに指摘されているように、

[式:…][式:…] も単独で平均すれば0になりますが、本問ではそれらの相関係数を求めます。

まず区間[0,1]をmn等分し、その小区間(層とよぶ)における平均値 i -(n-1)/2, j-(m-1)/2 の分布を考えますと、いずれも平均0で、互いに相関をもたないことが分かります。

[式:…] とおくと、

[式:…]

[式:…]

[式:…]

[式:…]

[式:…]

i,jについて総和すると第2項(層間相関)は上記のように0である。
第1項(層内相関)だけ考えればよい。

これだと、ごくつないですね。
prime_132 さん 2017/04/02 10:35:53 報告
\documentclass[fleqn,12pt]{jsarticle} \usepackage[margin=.8in]{geometry} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage{emathP} \begin{document} \noindent なかなか雰囲気のある積分を見つけました。考えてみて下さい。 \\ \shadowbox{問題} \noindent 実数 $\alpha$ と $\alpha$ 以下の最大の整数との差($\alpha$の小数部分)を、$ \{ \alpha \} $ で表します。\\ つまり、$ \{ \alpha \} := \alpha - [ \alpha ] $ です。\\ $m, \, n$ を自然数とし、$m$ と $n$ の最大公約数、最小公倍数をそれぞれ $ g, \, l $ とします。\\ 積分 \[ \int_{0}^{1} \left( \{ mx \} - \frac{1}{2} \right) \left( \{ nx \} - \frac{1}{2} \right) \, dx \] の値を $g, \, l $ で表して下さい。 \end{document}