果たしてこの解答で・・・(2017 早稲田 理工 5)

  • 公開日時: 2017/03/07 00:27
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  • カテゴリ: 入試・教育

今年の 早稲田 理工 問5 の (1) についてです。

受験数学ウォッチャーとしては、一目で よくある問題 だと思うのですが、どうしたわけか各予備校は 難問 との判定が多い。

なぜかとよく観察すると、多項式の係数 p, q が複素数なのか実数なのか問題で指定されていないのが原因のようです。

慎重を期して、係数が複素数だとして解答 すると、瑣末な論証が増えて面倒くさい ようです。

もちろん (1) からこんなに難しいわけはない、ということで、係数は実数として解答 している所もあります。

p, q が複素数だなんて思いもしなかった という解答もあります。

 

そこで、早稲田予備校の解答 です。

一見すると、多項式の相等を利用して、係数の属性(複素数、実数)に触れることなく、スマートに解いているように見えます…

…が、なにか大切なことが抜けているようにも思う。

皆さん、この解答をどう思われますか?

(部分点はどのくらい出るのだろうか、とか、いい感じに手直しできるだろうか、とか、これを読んで納得してしまう生徒がいたらどうするのだろうか、とか、早稲田受験にはこの解答で十分実践的なのだろうか、とか、いや実はこの解答で正しいのか?など、少なくとも私には色々な疑問がわきおこってくる解答です。)

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5
クロニャンコさんの紹介してくださった解答、一瞬納得してしまいそうになりますが、重解を持つ場合が問題になりませんか?

[式:…][式:…] を解に持つ場合を考えます。( [式:…] が重解で、[式:…] とします。)
現役生さんの議論から、複素数としての二つの等式
[式:…]
が成り立つことは取り敢えず分かりますね。
しかし、そこから直ぐに
[式:…]
の解が [式:…] と言えるのでしょうか?(上の複素数としての等式と、多項式としての等式 x^3+(3-p/q)x^2+(3-2p/q+1/q)x+1-p/q=(x-α)^2(x-β) には、ギャップがあるのでは…)
[式:…] でないのは何故でしょう?

prime_132さんの解答(=早稲田予備校の模範解答)にも同様の疑問を持ちますが…
もしここがクリアなのであれば、いみじくもprime_132さんが指摘されたように「係数p,qは、実数・複素数のどちらにも限定していない」という点で見所のある解だと思うのですが…(私がボケてるだけかも)
アンドロメダ さん 2017/03/07 23:41:31 報告
6
>>4
>> 重解を含むのは不正解で α,β,γ は異なることを示す。)

>>5
>> 重解を持つ場合が問題になりませんか?


[式:…] とします。
g(x) は単射なので、次のいずれかになります。

(1) g(α)=α、g(β)=β のとき
α、β は xx+x+1=0 の根(ω または ω~)
 根と係数の関係から α+α+β=-1,
 これは不可能。

(2) g(α)=β、g(β)=α のとき
 α = -1-αβ = β,
 α=β(3重根)となり、(1)に帰着します。
prime_132 さん 2017/03/08 05:46:00 報告
7
>>重解を持つ場合が問題になりませんか?
アンドロメダさんのおっしゃる通りです。
3つの解が異なることを示しておくことが必要です。
受験生が書きそうな(私も含めて)解答なので
どこが不十分か話題にできそうです。
クロニャンコ さん 2017/03/08 07:37:56 報告
8
お二人とも、検証有難うございます。

問題文に「p,qは実数」もしくは「異なる3つの解を持つ」と書いてあれば…と思ってしまいますね。
アンドロメダ さん 2017/03/09 01:09:43 報告
9
誰も書いていないんじゃないかと思うけど、まず
   [式:…]
は単射です。これが単射でないと(さらに)ややこしいことになります。

アンドロメダさんの >>5 について、例として:
   [式:…]
   [式:…]
とすると、
   [式:…]
となり、アンドロメダさんの言う:
   [式:…]
という事態が生じます。こういう実例があるのだから、本問の場合にはそのような事態が生じないことはやはり断る必要があるでしょう。
 その際、一般論でやっては手に負えないので、prime_132 さんの >>6 のように、問題に即して直接チェックするのでいいでしょう。(なお (2) は [式:…] が出たところで (1) に帰着されます。)

============================
それはさておき。
本問で [式:…] という条件は必要なんでしょうか?
もちろん、問題を易しくするという意味では役に立つにしても、論理的には冗長・不要ではないかということです。

[式:…] としましょう。すると [式:…] だから条件 (*) より [式:…][式:…] の解。したがって [式:…] であり、これは [式:…] の特別な場合になります。つまりまず、[式:…] という条件は不要([式:…] なら [式:…]、したがって [式:…] なら [式:…] だから)。

次に [式:…] とします。このとき
   [式:…]
つまり [式:…]。条件 (*) より [式:…][式:…] の解でなければならないが、[式:…] は存在しない(定義されていない)ので不可。つまり [式:…]
平賀 譲 さん 2017/03/09 02:46:57 報告
10
            2017 早稲田 の 模倣犯

x^3 - 69 x^2 + 66 x + 1 = 0 の解をαとするとき 下達は自明でせうが 示して下さい;

他の解は Q[α] の2次以下の 元として 表現可能。

他の解は Q(α) ∋ (a*α + b)/(α+ d) と 表現可能。

ところで 何故自明なのか 其の詳細な理由を 記して下さい;




もっと 高次の場合 上のような 状況が 生じる 例達を 記し 論じて下さい.

@t さん 2017/03/09 23:29:36 報告
11
>>10
はじめの方は、
[式:…] とおくと
[式:…]
[式:…]

[式:…]

[式:…]

[式:…] ← f(α)=0

[式:…] ← f(1)=u

[式:…]

したがって、

[式:…]

[式:…]

ですね。理由までは分かりませんが。

(P.S.)
そこで、横戸先生の記事をツラツラ眺めますと、最後に、
重解・有理数解を持たない有理数係数の3次方程式では
 差積が有理数 ⇔ 3つの解が巡回する
とあります。そこで、差積 ⊿ = (a-b)(b-c)(c-a) を計算します。

[式:…]
[式:…]
[式:…] = 判別式。

これに
 ss - 3t = 69^2 - 3*66 = 4563 = 27*13*13,
 2s^3 -9st +27u = 5*27*4563,
を入れて
 ⊿ = 4563 = 27*13*13,
したがって、3つの解は巡回します。
prime_132 さん 2017/03/12 12:24:12 報告
12
    他の解は Q[α]の2次以下の 元として 表現可能

の 方 をも 導出法 および 根拠を 明記し お願いします。
@t さん 2017/03/13 10:07:16 報告
13
>>10
[式:…][式:…] 上既約で、異なる [式:…] つの実根をもつ。それらを [式:…] とすると、分解体について
  [式:…]
が成り立つのが自明であれば、>>10に書いてあることも自明でしょう。
しかし体論が久しぶりである私には、これが自明なのかどうかよく分からない…。
一般論から単純拡大であることは分かりますが、生成元を [式:…] ととれるかは…??
prime_132 さんのような瀟洒なことができればいいのでしょうが、素人には判別式などをちゃんと計算しないと分からない…です。

>>9
具体例で補強していただき有り難うございます。

>>それはさておき
おっしゃるとおりですね。聞こうと思えば受験生にそういうことも聞ける、一問でいろいろなことが問える問題ですね。問題の題材が良いのだと思います。
アンドロメダ さん 2017/03/13 22:00:41 報告
14
以前の『大学への数学』を見ていたら、2016年2月号にそのものズバリみたいな記事がありました。

* pp.80-81:「学力コンテスト 12月号の解答」問題3(の解等)
* p.86: 横戸宏紀「学コン・こぼれ話『巡回する解』」

お手元にない方もいるでしょうから、スキャンしたものを掲載しておきます。
   http://suseum.jp/gq/question/2733

ファイルサイズの関係で画質が悪いのはご容赦。
横戸先生の記事にはガロア理論に言及はされていますが、内容にまでは立ち入ってはいません。
平賀 譲 さん 2017/03/24 22:44:12 報告