2乗すると1になる2つの数の和

  • 公開日時: 2017/03/06 18:39
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  • カテゴリ: 教養・雑学

 

mod N2乗すると1になる2つの数の和はNの因数を必ず持つ

 

■証明

 

2つの数をm,nとおく

 

n^2=1(mod N),m^2=1(mod N)なので、n^2=m^2(mod N)である

 

n^2=m^2(mod N)を式変形すると(n-m)(n+m)=0(mod N)となる

 

nmなので(n-m)Nの倍数になることはなく、(n+m)が必ずNの因数を1つは持っていないといけないことが分かる

 

証明終わり

 

 

 

一般化して、2乗するとaになる2つの数の和がNの因数を必ず持つことも同様にして示せる

 

 

 

また、mod無しの演算で考えると

 

2乗するとa(aは複素数)になる2つの数があったとき、片方がnならもう片方は-nだということを示せる

 

■証明

 

2つの数をm,nとし、m=nであることを示す

 

n^2=a,m^2=aなので、n^2=m^2で、式変形して(n-m)(n+m)=0

 

nmなのでn-m0、つまりn+m=0なのでm=n

 

証明終わり

 

 

 

また、3乗するとa(aは複素数)になる3つの数の和が0になることも示せる

 

■証明

 

3つの数をx,y,zとするとき

 

x^3=y^3,y^3=z^3より

 

x^2+xy+y^2=0…①,y^2+yz+z^2=0…②

 

②を式変形してy^2=-yz-z^2、これを①に代入してx^2+xy-yz-z^2=0

 

よって、(x-z)(x+y+z)=0、つまりx+y+z=0であることが分かる

 

証明終わり

 

 

 

一般化して、n乗するとa(aは複素数)になるn個の数の和が0になることをこのやり方で示せるのか考え中です。知っている方いたら教えて下さい

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