円に内接する正多角形

log10 さん

  • 公開日時: 2017/02/22 18:50
  • 閲覧数: 584
  • コメント数: 13
  • カテゴリ: 研究・考察

半径rの円Oに内接する正n角形の面積について考えてみました。

角度は全てラジアンで書かせてもらいます。

 

中心[式:…]から各頂点に向かって直線を引けば、[式:…]個の二等辺三角形に分割出来るので(結んだ線分は全て円Oの半径になる)、一つの二等辺三角形の面積を求めて[式:…]倍すれば面積[式:…]が求まります。

[式:…]角形の内角の一つを[式:…]とすると、[式:…]の大きさは、

[式:…]

隣り合う二つの頂点を[式:…]とすると、[式:…]は、[式:…]の二等辺三角形となります。

ここで、[式:…]から[式:…]に向かって引いた垂線の交点を[式:…]とすると、[式:…]は、[式:…]の直角三角形になるので、

[式:…]

[式:…]

[式:…]

したがって、[式:…]の面積は、

[式:…]

[式:…]

[式:…]

[式:…]

[式:…]

よって、正[式:…]角形の面積[式:…]は、

[式:…]となります。

 

上記の解法は正しいでしょうか。検分お願いいたします。

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4
それではsinやcosなどの三角関数も計算されて実数として表現できることになるのでしょうか?あくまでもこれは教科書的ではありません。ここが僕たちが主張しているところの問題点です。つまり0°から360°までの三角関数は実数として表現できるのではないでしょうか?また三角関数の表も新しく作れるのではないでしょうか?やっぱり教科書的ではないです。ご一考の程をお願いいたします。。
「たしかに教科書的には、log10さんの解答は正しいと思います。」
誠に失礼をばいたしました。この辺で引っ込むことにと了解しております。
天井一画 さん 2017/02/23 12:05:40 報告
5
天井一画さん、コメントありがとうございます。

えーっと。りあえず計算してみたのですが、外接円の半径と内接円の半径が、天井一画さんの仰ったような結果になりません。汗

もしかしたら僕がどこかで計算を間違えてしまっているかもしれませんが。
今のところは、どう計算しても上手く行きませんでした。
マシなコメントが出来なくて申し訳ございません。
log10 さん 2017/02/24 16:27:05 報告
6
で、本題の疑問を踏まえて、僕がさらに疑問に思うことがあります。

[式:…]角形が円に内接している場合、[式:…]の値が大きくなるほど(いわば無限角形)、限りなく円に近づいていくんですよね?
そうだとすると、本題で示した、半径[式:…]の円に内接する正[式:…]角形の面積
[式:…]において、その極限値は、
[式:…]
となるのでしょうか?
無限角形の話が正しいとすれば、上の式も成り立つような気もするのですが、確かめる方法が分からずにいます。
皆様のご意見をお聞かせください。
log10 さん 2017/02/24 16:50:03 報告
7
僕は微分と積分が苦手というか不信感も持っているので上手く意見が出来ませんが、極限値はπr²になるのかどうかは皆さんのご一考の程をお願いいたしたいと思います。実のところ僕はこの式ではならないような気がしています。どうでしょうか?このぐらいでコメントは控えますが、やっぱり微分と積分には何か変な感じもしませんか?つまり僕は微分と積分で挫折した私立文系です。
外接円の半径と内接円の半径について僕が疑問に思ったのは、辺の長さが2の正4角形の外接円の半径は√(4-2)で内接円の半径は√(4-3)、辺の長さが2の正6角形の外接円の半径は√(6-2)で内接円の半径は√(6-3)なのに、それらの中間の、辺の長さが2の正5角形の外接円の半径は√(5-2)で内接円の半径は√(5-3)ではないのか?という単純な発想からなのです。これは教科書的には正しくはないと否定されてしまいました。正n角形の外接円の半径と内接円の半径に関係する投稿だったのでコメントさせていただきました。そこで面積Sの式が正しいとするならば微分と積分の方が変だと考えることはそれもまた全然と相手にならないのでしょうか?
「たしかに教科書的には、log10さんの解答は正しいと思います。」
そしてlog10さんの疑問にも皆さんのご意見をお願いしたいと思っております。
[式:…]=∑{k[式:…]-(k-1)[式:…]}   0→∞
(1/2はシーソーの0の支点です。)
皆さんはこの式をどんな感じで理解していますか?よろしくお願いいたします。
天井一画 さん 2017/02/24 20:43:29 報告
8
円運動の速度として(2πr)´=(2πr)/r=2πを考えると、
(n/2)r²sin(2π/n)において、
nが∞のとき{n・sin(2π/n)}は「微分そのもの」のように感じられます。
n・sin(2π/n)=2π (nは半径∞)とするならば、
nが∞のとき、(n/2)r²sin(2π/n)=πr²となるのではないでしょうか?
これは1/∞=0での接点速度が求められるとしての意見です。
僕なりにもこじつけの解答を述べてみました。皆さんのご指導の程をよろしくお願いいたします。
天井一画 さん 2017/02/24 23:35:03 報告
9
>>6

log10 さんは中学生ですよね?
だけど極限とか知っているわけですか。頑張ってますね。
しかし一方、やはりかなり背伸びしている感はある。アンバランスというか。
例えばクロニャンコさんのコメント >>1 は通じているのかな。記号の話ではなく、「中心角を使え」という話です。

==================
高校に入ると:
   [式:…]
という極限を習います。これを認めれば、
   [式:…]
は直ちに得られます。
「認めれば」という妙な書き方をしたのは、普通の教科書では [式:…] の示し方に少し怪しげなところがあるからです。
何が怪しげかは、端的には「半径 [式:…] の円(正確には円板)の面積は [式:…]」というのはどこから出てくるのでしょう、という点に集約されます。もっともその先に、そもそも円周率の定義とか、曲線の長さ、あるいは曲線に囲まれた図形の面積って何?といった話があります。これは長くなるし、関連文献も(本フォーラムの記事も含め)たくさんあるので、ここでは立ち入りません。
平賀 譲 さん 2017/02/25 11:27:05 報告
10
僕は本当に余計な事をしてしまった様です。log10さんと皆さん、大変に申し訳ありませんでした。では失礼します。
天井一画 さん 2017/02/25 13:15:26 報告
11
平賀さん、コメントありがとうございます。

まあ、数学や英語は、高校の部分も先取りしてやっていたりするのですが、勉強不足・理解不足なのは認めています。
クロニャンコさんの「中心角を使う」ということは理解していて、記号の話は、クロニャンコさんが「∠の表現はバグかな」と仰ってて、[式:…]のことかなと思って。

で、[式:…]の式を使って極限の式を確かめるのが直感的にまだわかりません。少し自分で考えてみると同時に、もう少し勉強したり調べ直したりしてみます。
log10 さん 2017/02/25 13:55:45 報告
12
〔問題〕
1周の長さが 2π である正n角形において、外接円の半径R、内接円の半径rとするとき、
(1) [式:…]

(2) [式:…]

左:調和-相乗平均   中:Snellius-Huygens   右:B.C.Carlson

(3) 
[式:…]

(略解)
[式:…]
[式:…]
積分してたすと
[式:…]
[式:…]
prime_132 さん 2017/02/26 19:06:28 報告
13
考えてみました。

[式:…]
[式:…]
ここで、[式:…]のとき[式:…]だから、
[式:…] (∵[式:…])
したがって、
[式:…]
よって、
[式:…]

と、いう風になりました。
log10 さん 2017/04/08 15:49:34 報告