集合の要素

daisachi さん

  • 公開日時: 2017/02/07 22:15
  • 閲覧数: 603
  • コメント数: 3
  • カテゴリ: 入試・教育

集合の要素は重複を認めるのでしょうか。

例) {1,1,2,3}など

持っている本などを一通り見ましたが明確に書いているものがありませんでした。

ご教授お願いします。

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{1,1,2,3} = {1,2,3}
です。つまり、重複は考えないのが普通だと思います。

重複も考える場合({1,1,2,3}≠{1,2,3}と考える場合)、次のような概念があります。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%87%8D%E9%9B%86%E5%90%88
重複がある場合は、普通の集合とは峻別されているということでしょう。
アンドロメダ さん 2017/02/08 00:44:44 報告
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アンドロメダ様

いつも返信ありがとうございます。

例えば、とある業者の試験に以下のような問題がありました。

  m、nを整数とし、次の二つの集合A、Bを考える。

   A={2,4,m^2-4m+3}、B={3,m^2-3m-1,m-n^2}

  A∩B={3,4}となるm,nの組を求めよ。

解いてみると



  3∈Aなので、m^2-4m+3=3 ⇒ m=0,4

(i)m=0のとき

  A={2,4,3}、B={3,-1-n^2}

  -n^2≠4なので不適

(ii)m=4のとき

  A={2,4,3}、B={3,3,4-n^2}



ここで 4-n^2=4 と解かせたいのでしょうが、

問題の設定から 3≠m^2-3m-1 が大前提であり、m≠4,-1 とならないのでしょうか?

アンドロメダ様の見解はいかがでしょうか?
daisachi さん 2017/02/09 12:17:26 報告
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つまり、{1,1,2,3} という書き方が許されるか?という疑問をもたれていて、高校数学としてはダメなのではないかと daisachi さんは考えておられるわけですよね?

松坂和夫先生の著書「集合・位相入門」の p.7
第1章 集合と写像 >>> §1 集合の概念 >>> C) 集合の相等
に、集合の外延的記法の注意として、

『また,同一の元を重複して書くこともべつに禁じられないが、同じものをいくつ書いてもその効果はただ1つだけ書いたのと同じである.たとえば{1,1,1,2,2,3,4}={1,2,3,4}.』

とあります。
「べつに禁じられない」ので、一般的には {3,4} を {3,3,4} と書いても咎められるものではなく、業者の試験におかしなところはないと私は思いますが、高校数学としてどうなのかと訊かれるとちょっと答えられませんね…すみません。
ただ、大学入試などで出題者が大学教授である場合は、{3,3,4}={3,4} と思って出題されるのではないでしょうか?
アンドロメダ さん 2017/03/01 23:21:53 報告