1^n + 2^n + …... + n^n はnで割り切れるか?

prime_132 さん

  • 公開日時: 2016/12/30 03:44
  • 閲覧数: 907
  • コメント数: 5
  • カテゴリ: 教養・雑学

〔問題〕

[式:…] は、

(1) nが奇数のとき、 n^2 で割り切れる。

(2) nが偶数のとき、nで割り切れない。

を示してください。

 

〔補題〕

nは偶数で 2^eで割り切れるとき、

[式:…]   Kは奇数 
[式:…]    Gは偶数 (ただしn>2)

(高校数学の質問スレPart397(c)2ch.net から。既出かも?)

 

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1
補題の略証を貼っときます。

(上)
[式:…] とします。(m、Kは奇数)
[式:…]

[式:…]

[式:…]

[式:…]

右辺の e+1 個の因子はすべて偶数で、初めの2つの一方は4の倍数です。

(下)
2^e≧e+1、m≧1,
但し、等号は同時には成立しません。(← n>2)
∴ n = (2^e)m > e+1,
∴ n≧e+2.
prime_132 さん 2016/12/31 04:12:56 報告
2
[式:…]とおく。
(1)「[式:…]が奇数のとき[式:…]は,[式:…]で割り切れる。」・・・①
[式:…]のときA=1であるから①は成り立つ。
n=2m+1 (mは正の整数)のとき
二項定理を利用 k=1,2,・・・,m
[式:…]
[式:…] ([式:…]は正の整数)
[式:…]
ゆえに①は成り立つ。

(2)は、補題を利用する。
クロニャンコ さん 2016/12/31 10:21:44 報告
3
>>2
正解です。
解答ありがとうございます。

蛇足を付け加えるとすれば、
[式:…]
[式:…]
[式:…] もnの倍数ゆえ、
[式:…]
[式:…]

できれば(2)の方も...
prime_132 さん 2016/12/31 20:19:12 報告
4
(2) 「[式:…]が偶数のとき,Aは[式:…]で割り切れない。」・・・②を示す。

[式:…]のとき,A=5より,②は成り立つ。
[式:…]は,2より大きな偶数とすると,
[式:…],[式:…]は正の整数,[式:…]は奇数と表せる。
補題を利用する。
[式:…]
[式:…]
を満たす,整数[式:…]が存在する。
[式:…]とおくと
[式:…]
[式:…]
は、奇数であるからAは,[式:…]を約数として持たない.
したがって、[式:…]で割り切れない。
ゆえに②は成り立つ。

面白い問題ですね。どこかの入試問題でしょうか?
クロニャンコ さん 2017/01/01 23:08:30 報告
5
>>4
正解です。
(2)は某掲示板にありました。
(1)は自作です。
prime_132 さん 2017/01/02 03:24:32 報告