2017年EGMO予選&似た形式の自作問題

kisato さん

  • 公開日時: 2016/12/26 14:48
  • 閲覧数: 921
  • コメント数: 6
  • カテゴリ: パズル・クイズ

ヨーロッパ女子数学オリンピック日本代表選抜一次試験の問題(上)と、それに似た形式の自作問題(下)です。

前者はいい問題だと思うので、挑戦してみてください。

egmo.jpg 

zisaku.jpg 

 

 

 

 

 

 

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1
上の問題はまず、
「任意の正の整数[式:…]に対して[式:…][式:…]で割り切れる」
ことを示すのがいいと思います(私はそうしました)。
kisato さん 2016/12/29 09:09:49 報告
2
上の問題は...
そのような素数が [式:…] のみならば
 [式:…]
であり,[式:…][式:…] 階なので,[式:…][式:…] を周期にもち,例えば
 [式:…]
となり不合理.
honda さん 2016/12/30 13:01:40 報告
3
下の問題は...
 [式:…]
とおくと,例えば,行列式の性質により
 [式:…]
なので,帰納的に [式:…].一方,任意の正の整数 [式:…] に対して,[式:…][式:…] 階 なので,[式:…] は周期をもつ.
honda さん 2016/12/30 13:13:05 報告
4
hondaさん、ご回答ありがとうございます。
ご提示の方針は正しいのですが、「1階なので〜」「2階なので〜」の部分を示すことこそがこの問題の核であると思います。
kisato さん 2016/12/30 23:34:07 報告
5
下の問題だけで良いですね.
簡単の為,[式:…] の定義域は [式:…] とし,各項の [式:…] は略します.
 [式:…]
なので
 [式:…]
となり,そのような [式:…] に対して,[式:…] つの数列
 [式:…]
は初めの [式:…] 項と [式:…] 階の漸化式を共有するので,帰納的に
 [式:…]
また,[式:…] なので,同様に
 [式:…]
従って
 [式:…]
となります.
honda さん 2016/12/31 09:37:33 報告
6
>>1
〔補題の補題〕
a_{n+1} = P( a_n )、ここにPは整係数多項式で、P(0)=a_1 とする。
任意の正の整数 m、n に対して、a_{m+n} - a_m は a_n で割り切れる。

(略証)
m についての帰納法で。
m=1 のとき、漸化式より
[式:…]
また、
[式:…]
[式:…]
ゆえ、あるmに対して成立なら、m+1に対しても成立。


〔補題〕
[式:…][式:…] で割りきれる。(乗法的)

あとはユークリッド法(背理法)で矛盾を出す・・・

http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1480860443/30-39
prime_132 さん 2017/02/05 06:08:45 報告