フィボナッチ的でもあり乗法群的でもあるループ

  • 公開日時: 2016/12/13 00:22
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  • カテゴリ: 研究・考察

 

5n±1型の素数(pと置く)を法とするとき、フィボナッチ的でもあり乗法群的でもあり、ループのなかに1が含まれているループが必ず2つできることを示したい。乗法群的なのでループのなかに0は含まれない(乗法群的、ループという言葉は、僕の「時計みたいな素数」という投稿を見て下されば伝わるだろうと思います。伝わってほしい)


 

aを、1+a=a^2(mod p)となっている数だと定義する

 

式変形し、a^2-a-1=0(mod p)となり、a=(1±√5)/2(mod p)

 

55n±1型の素数を法とするとき整数になる。5n±2型の素数を法とするとき整数にはならない。

 

5n±1型の素数を法とするとき、√5が整数になるので、aも整数になる。

 

mod11のとき、(1+√5)/24でもあり8でもある。(1-√5)/24でもあり8でもある。

 

√のなかの511を足すと16になり、√16=4になり、更に511を足していくと49になり、√49=7になる。というやり方で、√5は二通りの整数になる

 

 

 

mod19のとき、(1+√5)/25でもあり15でもある。(1-√5)/25でもあり15でもある。

 

mod 29のとき、(1+√5)/26でもあり24でもある。(1-√5)/26でもあり24でもある。

 

具体的には、mod29のとき、(1,6,7,13,20,4,24,28,23,22,16,9,25,5)(1,24,25,20,16,7,23)という2つのループができる

 

mod31のとき、(1+√5)/213でもあり19でもある。(1-5)/213でもあり19でもある


(1±√5)/2は、式からして明らかに2つしか解を持たなさそうだ

みたいなことを考えました。これから加筆したり修正したりするかもしれません。ご意見あればお願いします

 

 

 

 

 

 

 

 

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No メッセージ 投稿者 日時    
1
このとき、2つのaをa[1],a[2]とする
mod pでのa[1]の位数をb[1],a[2]の位数をb[2]とする
mod pでのフィボナッチ数列的に前の2つの数を足して次の数を作る演算でできるループの長さは、全てb[1]あるいはb[2]のどちらかに必ずなるのではないかと予想しました
水宮うみ さん 2017/04/01 19:11:45 報告
2
Memo.

奇素数p(p≠5)に対して

[式:…]
より
[式:…]
[式:…]

-------------------------------------------------------
以下、(5が平方剰余となる)p = 5n±1 のみを考える。

[式:…]

ループの長さ(周期)は φ(p)=p-1 の約数。たとえば、pが小さいときは:

[式:…]
[式:…]
[式:…]
[式:…]
[式:…]

....となって、訳が分からなくなりました。

参考
 F_{n} ≡ 0 (mod p) となる最小のnはループの長さ(周期)の約数で
 p=29, 41, 61, 101, 229, 241, 259, .... ; F_{(p-1)/2} ≡ 0 (mod p)
 p=139, 151, .... ; F_{(p-1)/3} ≡ 0 (mod p)
 p=109, 149, 269, .... ; F_{(p-1)/4} ≡ 0 (mod p)
 p=211, .... ; F_{(p-1)/5} ≡ 0 (mod p)
 p=89, .... ; F_{(p-1)/8} ≡ 0 (mod p)
 p=199, .... ; F_{(p-1)/9} ≡ 0 (mod p)
 p=281, .... ; F_{(p-1)/10) ≡ 0 (mod p)
prime_132 さん 2017/04/02 03:15:19 報告
3
prime_132さん、ありがとうございます

すみません、ループの長さ(周期)は #F_p = φ(p)=p-1 の約数。のあとが難しくて分からなかったです
水宮うみ さん 2017/04/02 09:22:35 報告