既約多項式の解を素因数分解

  • 公開日時: 2016/11/28 19:06
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  • コメント数: 7
  • カテゴリ: 教養・雑学

 

 

 

x^2+1xに自然数を代入していくと、2,5,10,17,26,37,50,65,82,……となって、

 

解を素因数分解すると、

 

2=2,5=5,10=2×5,17=17,26=2×13,37=37,50=2×5^2,65=5×13,……

 

となって、24n+1型の素数しか出てきません。4n-1型の素数が出てこない

 

 

 

a,b,cを自然数とし、ab,cが互いに素であるとする

 

全ての二次以上の既約多項式の解の素因数も、aの因数またはaで割った余りがbのときだ、と限定されていて、aで割った余りがcの素数(an+c型の素数)は出てこない、というようなcがあると予想しました

 

 

 

ブニャコフスキー予想を拡張?した予想だと思って下さい。要は合成数も素因数は限定されているのではないか、という予想です

 

 

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1
(前半の略証)
背理法による。
上記のように、Cが小さいときは成立します。
そこで、最小の反例 C = xx+1 に注目します。
xが偶数のとき、xx + 1 = 4n+1,
xが奇数のとき、xx + 1 = 2(4n+1),
左辺は4で割って3余る素因数を偶数個含みますから
xx + 1 = AB or 2AB,
A≡B≡3 (mod 4)
と表わせます。
ここで A≦B としても、一般性を失いません。
(背理法で) A ≦ x,
(x-A)^2 + 1 = A(A+B-2x) or A(A+2B-2x),
はA(≡3)を因数に持ちます。
これは xx+1=C が最小の反例であったことに矛盾します。(終)


「4n+1型素数の性質」
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/algebra/primenumber.htm
prime_132 さん 2016/11/29 02:42:53 報告
2


prime_132さん、初めまして

コメントありがとうございます。じっくり考えさせて貰います
水宮うみ さん 2016/11/29 03:22:55 報告
3
関連した予想考えてみました
nを自然数、f(n)を二次の既約多項式とする
f(n)及びf(n)を奇数になるまで2で割ったものがa(mod b)を取らないとき、f(n)の素因数もa(mod b)を取らない

例えばf(n)=n^2+5のとき、
f(n) 及びf(n)を奇数になるまで2で割ったものが11,13,17,19(mod 20)を取らないので、f(n)の素因数で11,13,17,19(mod 20)になるものはない(なさそう)

反例や証明分かる方いたらお願いします。真なら、拡張して、二次に限らず一般のn次の既約多項式でも同様のことが言えたら面白いな、と思ってます
水宮うみ さん 2017/03/19 15:43:27 報告
4
[式:…]を奇素数とする.
ある[式:…]に対して[式:…]と仮定すると[式:…]であるが,フェルマーの小定理より[式:…]でなければならない.(終)

n^2+5についてはルジャンドル記号を用いて
[式:…](相互法則)と平方剰余の第一補充則、第二補充則より[式:…]が得られます.
2次式に関しては(平方完成するなどして)同様の議論が成り立ちます.3次以上の場合は途端に難しくなります.
kisato さん 2017/03/21 09:05:34 報告
5
kisatoさん、初めまして。ありがとうございます

平方剰余の相互法則で二次式の場合は示せるんですね。平方剰余の相互法則の証明が理解できていないので勉強します



話は少し変わりますが>>3の前半と関連付けて考えてみました
n^2+5の素因数は1,3,7,9(mod 20)で、この中のどの素因数を掛け合わせても11,13,17,19(mod 20)にならないので、n^2+5自体も11,13,17,19(mod 20)を取らないことに気付きました
 1
7 3
 9
という図を考えると分かりやすいです 時計回りに一個移動すると×3、反時計回りに一個移動すると×7、向かい合う場所に移動(180度回転)すると×9になっているという図です
この図から1,3,7,9をどれだけ掛けても1,3,7,9以外の数が表れないことが分かります
他の二次の既約多項式も同様の図が書け、同様のことが言えるのかなと思いました
水宮うみ さん 2017/03/21 16:33:08 報告
6
最近知ったのですが、a角形の円分多項式はaの素因数またはan+1型の素数しか素因数にならないんですね

このことから、二次以上の既約多項式でも素因数の形が限定されているものが存在することが分かります
水宮うみ さん 2017/06/27 12:25:02 報告
7
連投失礼します
この予想にはどうやら反例があるようです
僕には難しくてよく分かっていないのですが、三次剰余の相互法則によるとx^3-2の素因数をan+b型の形ですべて表すことはできないようです

それを踏まえてあえて予想を変えるとすれば、素因数がすべてan+b型の形だ、と言い切れる既約多項式は、そうは言えない多項式と比べてどんな特徴を持っているか、などの予想になりますかね。ただ個人的に長年の予想の反例が見つかってすっきりしました
水宮うみ さん 2017/06/28 16:14:28 報告