京都大学 特色入試

  • 公開日時: 2016/11/27 17:04
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  • カテゴリ: 入試・教育

最近、すうじあむでのやり取りで、twitter上にも色々な数学の情報があることを知りました。

 

今日も暇にまかせてtwitterをうろついておりましたら、最近行われた京大の特色入試(と思しきもの)の問題を見つけました。

1 : https://pbs.twimg.com/media/CyKSiaGUAAAHwdH.jpg

2 : https://pbs.twimg.com/media/CyKSiaKVEAA3ajJ.jpg

3 : https://pbs.twimg.com/media/CyKSiaMVIAAqSqF.jpg

4 : https://pbs.twimg.com/media/CyKSiaOUsAApW5j.jpg 

私も取りあえず 1, 2, 4 番を解いてみました(3番は問題文が長いのでパス)。

皆さんも考えてみたいと思っておられるのではないかという気がしますので、

あれこれ感想はまだいいませんが、4 なんてどうやって受験生が解くんだろう…

(超高校級知識を使ってよければ簡単…ですよね?)

 

なにぶん SNS 上のことですので、全くの虚偽(釣り)問題である可能性も否めませんが、

皆さん一度目を通されてみてはいかがでしょうか。

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18
第 3 問

My Memo

1971 Silverman
近谷 邦彦 さん 2016/12/03 21:16:28 報告
19
セルビアの方から, このような解答をいただきましたが,この答案で20点満点で何点くらいになりますでしょうか? 本人の希望です.

Problem 3

There are n pebbles on the table. Two players take turns taking a perfect square number of pebble(s) until none are left. The last player to move wins.

(1) Show that for each n, either the first player or the second player can win the game.

(2) Show that if n=456, the first player can win the game.

(3) Show that there exist infinitely many n such that the second player can win the game.

===================================================================

Solution

1. The game always ends in a finite number of moves and therefore one player has a winning strategy.

2. Let's see who wins for small n:

n winner

1 1
2 2
3 1
4 1
5 2
6 1
7 2
8 1
9 1 (first move: take 4)
10 2
11 1
12 2
13 1
14 1 (first move: take 4 or take 9)
15 2

Now, for n=456 the first player can take 21^2=441 pebbles, leaving 15 on the table and winning.

3. Suppose that second player can win for only a finite number of n, and let M be the largest of those n.

Let N>M and consider a game with n = N^2+N < (N+1)^2.

No matter which perfect square number of pebbles the first player removes, he leaves more than M on the table, and he loses. QED.
近谷 邦彦 さん 2016/12/04 14:30:22 報告
20
1番が、2009年の理系乙4番に似ているのではないかと思い、再考中…。

http://suseum.jp/pq/answer/856
この解答の流れとは逆に、ベクトルは縦ベクトルで書いて、
漸化式を行列で表すと、
[式:…]
なので、ベクトルの絶対値が [式:…] 以上という条件は、行列のノルムみたいな話につながるか?と思いましたが…、結局座標みたいなものを計算しないと、行列のままでは[式:…] が出てくるような精密な議論にはならず…
正体は一体なんぞ…
アンドロメダ さん 2016/12/04 17:44:33 報告
21
>>17 新生J さん:
> 3番ですが
> 「subtract-a-square」で検索するといくらか出てきます。

「いくらか」どころか、Wikipedia (en)にはそのものズバリの話がありますね。

========================
>>20 アンドロメダさん:
> 正体は一体なんぞ…

これ、なかなか面白いですよ。

全ての [式:…][式:…] で決まるある楕円の上にあります(ただし、[式:…] の値の制限をはずすと例外あり)。その楕円を求めてください。
全体を [式:…] 回転したほうが扱いやすいかもしれません。

この楕円は [式:…](及び対称点である [式:…])で単位円と交わります(単位円そのものと重なる場合もあるけど)。
本問の設定だと、条件 (A) は、任意の [式:…] が第1・第3象限には存在しないこと(座標軸上は除く)に相当します。

[式:…] を任意の実数とした場合にどういった場合が生じるかも考えてみてください。
平賀 譲 さん 2016/12/06 15:03:00 報告
22
> その楕円
の式はprime_132さんのコメント3にありますが,その段階で今回の [式:…] の形が見通せるのでしょうか?
honda さん 2016/12/06 15:53:56 報告
23
>> 22

こちらとしては直観的なイメージを示したいという意図だったので、解法と結びつけての話ではなかったし、解答として考えると、「楕円上にある」ことを示す時点ですでに複雑になってしまいます。
「その段階で見通せるか」と言われてもわからないし。

と言うだけでもあんまりなので、もう少し話を進めてみます。
途中の計算ははしょって結果だけを記していきます。

まず >>21 で述べたように、[式:…] 回転したほうが座標などは扱いやすい。
そこで:
   [式:…]
と置き直します。ここで:
   [式:…]
と置けば、任意の [式:…] は楕円:
   [式:…]
の上、つまり:
   [式:…]
の上にあります。
[式:…] という条件のもとでは [式:…] であり、楕円は [式:…] のとき単位円の内側に、[式:…] のとき外側にあります(等号は交点のとき成り立つ)。

したがって問題の条件 (A) は、[式:…] が単位円内にないこと、つまり [式:…] 成分が [式:…] であることと言い換えられます。もっともそんな言い方より、楕円上で [式:…][式:…][式:…] の間にないこと、また原点対称点である [式:…][式:…] の間にないことと言ったほうがわかりやすいでしょう。

ここでさらに [式:…] 方向を:
   [式:…]
倍に拡大すると、上の楕円は半径 [式:…] の円になります(単位円のほうは縦長の楕円になります)。これは線形変換なので、点同士の関係は保存されます。

この拡大により [式:…][式:…] に写されるとすると、
   [式:…]
で、[式:…] のなす角は [式:…] であり、さらに一般に [式:…] のなす角も [式:…] であることは簡単な計算でわかります。つまり半径 [式:…] の円周上で、[式:…] から出発して [式:…] ずつ回転させたものが [式:…] になります。

ここでも問題の条件は [式:…][式:…][式:…] の間及び [式:…][式:…] の間にないことであり、ここまで来ればそれを満たすのは [式:…][式:…] で割り切れる場合、というのは見やすいでしょう。その証明自体も必要ですが。
平賀 譲 さん 2016/12/07 05:44:29 報告
24
1番([式:…] を具体化しない方針)
 [式:…]
とおくと,帰納的に
 [式:…]
と判るので
 (A)⇔[式:…]
であるが,[式:…] ならば,[式:…] でよいから,(A) となり,[式:…] のとき,更に
 [式:…](弧の両端は含む)
[式:…](弧の両端は除く)
[式:…]
[式:…]
[式:…]
[式:…]

なお,後半を領域を用いて
 [式:…]
と表せば,コメント4の不等式が得られます.
honda さん 2016/12/09 21:08:42 報告
25
4番(2)([式:…][式:…] と改め,横に数える方針)
[式:…] の小数部分を [式:…] とおくと
 [式:…]
[式:…]
[式:…]
honda さん 2016/12/09 21:16:46 報告
26
一方,[式:…][式:…] と改めた
 [式:…]
は,...
[式:…] が無理数のとき,http://suseum.jp/gq/question/1382 のコメント10により,[式:…] と同符号の無限大に発散.
[式:…] が有理数 [式:…] のとき,同じくコメント2により,[式:…] ならば,[式:…] の倍数番目までは打ち消され
 [式:…]
の繰り返し.その他ならば,[式:…] と同符号の無限大に発散.
honda さん 2016/12/10 15:29:44 報告
27
大学への数学を読んできましたが、ここに書いてある以上のことはありませんでした。(平賀先生のコメント23とほとんど同じような記述もありました。)
アンドロメダ さん 2017/02/05 11:00:40 報告