証明方法

@t さん

  • 公開日時: 2016/11/21 10:08
  • 閲覧数: 2773
  • コメント数: 10
  • カテゴリ: 研究・考察

a[n]=13^n - 8^n - 5^n (n∈N) が40の倍数であることを
  a[n]を解とする 線型漸化式を 作り 証明せよ。

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1
特性根は
x+y=13,x=8,y=5,

特性多項式は
[z-(x+y)](z-x)(z-y) = z^3 -2(x+y)z^2 +(T+2xy)z -U,
T = xx+xy+yy,
U = xy(x+y),

線形漸化式は
a[n+3] - 2(x+y)a[n+2] + (T+2xy)a[n+1] - Ua[n] = 0,
これと
a[1] = 0,
a[2] = 80,
a[3] = 1560,
から出る。

母関数は
[式:…]
[式:…]

あるいは

5=(13-8)|(13^n -8^n)
∴ a[n] = (13^n -8^n) -5^n は5の倍数。

8=(13-5)|(13^n -5^n)
∴ a[n] = (13^n -5^n) -8^n は8の倍数。
prime_132 さん 2016/11/21 14:31:23 報告
2
〔問題〕
nが奇数のとき、a[n]は 13*8*5 の倍数である。
prime_132 さん 2016/11/22 09:28:47 報告
3
> 2
[式:…] ですからね.

では,私もひとつ...
 [式:…] が素数ならば [式:…]
となる.
honda さん 2016/11/22 12:01:24 報告
4
>3
a[2m-1]=b[m]とおく。
特性多項式
(t-13^2)(t-8^2)(t-5^2)
=t^3 -(43*6)*t^2 +(43*43*9)*t -(43*12+4)^2,

[式:…]

[式:…]

[式:…]

[式:…]

3より大きい素数pは、2でも3でも割り切れないので、6n+1,6n-1 と表わせる。[式:…]
prime_132 さん 2016/11/22 19:35:30 報告
5
>>3
[式:…] が素数のとき
   [式:…]
が成り立つか?と考えました。

   [式:…]
なので、
   [式:…]
の二重下線部の動向を調べればよい。
[式:…] のとき、二重下線部は
   [式:…]
を繰り返すので、[式:…][式:…] で割った余りが [式:…] であればよい…。
アンドロメダ さん 2016/11/22 22:07:22 報告
6
> 4
丁寧なご解答,有難うございます.
私は不精なので,特性多項式も [式:…] 係数にするか
 [式:…]
なので,直接
 [式:…]
 [式:…]
などとしてしまいそうです.

> 5
なるほど.その拡張によれば,余りが [式:…] のとき多項式 [式:…] も因数となり,[式:…] のときにはならないことも判りますね.
honda さん 2016/11/23 09:13:31 報告
7
>>5
ご参考までに...

[式:…]

[式:…]
[式:…]
とおきます。
A[2n-1]の特性多項式はこのT、Uを用いて
[式:…]
と表わせます。線形漸化式は
[式:…]

これと初期値から、
A[6n-3] = U * (T^3, UU のn-1次式)
A[6n-1] = TU * (T^3, UU のn-1次式)
A[6n+1] = TTU * (T^3, UU のn-1次式)

[式:…]

初めの方は、
A[1] = 0,
A[3] = U(3),
A[5] = U(5T),
A[7] = U(7T^2),
A[9] = U(9T^3+3UU),
A[11] = U(11T^4+11TUU),
A[13] = U(13T^5+26TTUU),

母関数は
[式:…]
[式:…]
prime_132 さん 2016/11/24 02:00:09 報告
8
では,もうひとつ.問題ではなく,質問です.
 [式:…] が素数ならば,[式:…]
ですが,素数でない
 [式:…]
でも [式:…] となります.それらはどのような形の数なのでしょう?
honda さん 2016/11/24 08:51:39 報告
9
> 7
それぞれの
> (T^3, U^2 のn-1次式)
[式:…] の最高次の項の係数を明示しておくと安心ですね.
honda さん 2016/11/26 09:21:05 報告
10
〔問題〕
f(x,y) がn次の同次多項式で、恒等式
[式:…]
を満たすならば、
[式:…]
(cは定数)となる。

佐武教授ご提出らしい。

数セミ増刊「数学の問題」第2集、日本評論社(1978)、No.68
prime_132 さん 2017/01/02 04:02:42 報告