2016 京都大学 理系 6番

  • 公開日時: 2016/11/19 14:47
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  • コメント数: 10
  • カテゴリ: 入試・教育

ひょんなことから、今年の京大の理系 [式:…] 番を考える機会がありました。以下の問題です。

 複素数を係数とする [式:…] 次式 [式:…] に対し、次の条件を考える。

(イ) [式:…][式:…] で割り切れる。

(ロ) [式:…] の係数 [式:…] の少なくとも一方は虚数である。

この [式:…] つの条件 (イ)、(ロ) を同時に満たす [式:…] 次式をすべて求めよ。

http://kaisoku.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/16/k01-21p/3.gif  

解答は主に二通りあって、実際に割り算を実行するもの と、[式:…] の根を用いるもの があります。

後者の大まかな流れは

[式:…] とすると、

       (イ) [式:…]

で、[式:…][式:…] の対称性を考慮して、

       [式:…]

に場合分けして、[式:…] から [式:…] を求めるというものです。

[式:…][式:…] が簡単に求められるので、上のリンク先の解答にもある通り、

[式:…] でも [式:…] を計算してある解答が多いのですが、条件 (ロ) を活用すると、

[式:…] は細々とやらなくてもいいのでは?と思って別解を考えてみました。

別解

   [式:…]  で、条件 (ロ) を満たすものを求める。

   [式:…] だから、

          [式:…]

   [式:…] より [式:…] なので、[式:…] は虚数(とくに≠0)となる。  

   [式:…] の両辺を [式:…] で割ると

          [式:…] 

   [式:…] は虚数なので [式:…] で、このとき [式:…] となる。

   これが十分であることを確認した方がいい気もする。その場合は、

     [式:…]   

   ってな感じでどうでしょう?

 

どうせ最後は係数の [式:…] を求めるわけですから、なんとか対称式を崩さないように意識してみました。

どこかに同じものがありましたら申し訳ありません。

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No メッセージ 投稿者 日時    
1
> 確認した方がいい気もする
ということなら,[式:…] を差にする手もありますね.

なお,「複素係数の任意の [式:…] 次式が [式:…] 次式の積に分解できる」ことは既知なのか?また,[式:…] の十分性のチェックがどの程度の配点なのかも気になるところです.
honda さん 2016/11/19 17:07:36 報告
2
     削除されましたが 直に 割り算の 方;

(-1 - a^2 + a^4 - 3 a^2 b + b^2)= 0, (-1 + a^2 - 3 b) (a^2 - b) = 0

を解けばよく, 条件に合わぬのを 棄て;

{{a -> -(1/2) - (I Sqrt[3])/2,
b -> -(1/2) + (I Sqrt[3])/2}, {a -> 1/2 + (I Sqrt[3])/2,
b -> -(1/2) + (I Sqrt[3])/2}, {a -> 1/2 - (I Sqrt[3])/2,
b -> -(1/2) - (I Sqrt[3])/2}, {a -> -(1/2) + (I Sqrt[3])/2,
b -> -(1/2) - (I Sqrt[3])/2}};       

       で 素直に Fin.
@t さん 2016/11/19 19:44:56 報告
3
>>1
コメント有り難うございます。

> [式:…] を差にする
なるほど…
   [式:…]
とすれば、始めから必要十分で議論できる、ということでしょうか?


> 十分性のチェック
私は最初、河合塾の解答を読んでいるときに十分性に言及しているのかいまいちピンとこなかったのですが、大括弧の中の「α=βの場合は…」を読んで、十分性も考慮しているのだと受け取りました。
はっきり「因数定理より~」とか書いてあれば悩みませんでしたが、複素数係数の多項式なので因数定理と書けないのかな…?
確かにどのように採点しているのか気になる部分です。


> 「複素係数の任意の [式:…] 次式が [式:…] 次式の積に分解できる」
これも考え始めるとなかなか悩ましいですね…
試験場で答案にサッと書いてクリアできそうな理屈を、なかなか今すぐには私は思いつきませんが…


>>2
> 削除されましたが
全く関係のない変な youtube のリンクを貼らないでいただけますか?
アンドロメダ さん 2016/11/20 00:14:43 報告
4
判り難くてすみません.
 [式:…]
[式:…]
なので,差とは
 [式:…]
のことです.一方
 [式:…]または[式:…]
[式:…]
なので,ご投稿の別解は,そのまま(i)または(iii)に対するものになっています.

> 十分性のチェック
一般には [式:…] であっても [式:…][式:…] を因数に持つとは限りませんからね.

> 試験場で答案にサッと書いて
「平方完成して極形式の平方根を用いると」くらいでしょうか.

なお,(イ)の扱いですが...
[式:…] では [式:…] により [式:…] となり,(ロ)に反するので,[式:…].このとき,[式:…] 次の項の係数を順に比較すれば
 [式:…]
[式:…]
となり,展開すると
 [式:…]
なので,[式:…] 次の項の係数を比較して
 [式:…]
といった具合にもできますね.
honda さん 2016/11/20 09:33:31 報告
5
> 差とは…のことです.
理解しました。同じくらいの作業量で(iii)に対する必要十分も分かりやすい解法であることを納得しました。

> ご投稿の別解は,そのまま(i)または(iii)に対するもの
このご指摘があってはじめて気付きましたが(遅脳ですみません…)、つまり、論理の達人からすれば、(i)と(iii)の場合分けは全くナンセンスである、ということになるでしょうか?
   (イ) ⇔ (i)または(ii)または(iii)
で、本質的な場合分けは「(ii)」と「(i)または(iii) (一括処理できる)」だけを考えればよくて、しかも私の別解中の「これが十分であることを…」以下はそもそも不必要であると…。
これだとだいぶん解答がスリムになりますね。

> 「平方完成して極形式の平方根を用いると」
複素数係数の多項式の割り算を前提として、x^2+ax+b=0の解の存在を言えばよい、ということですよね。

> なお,(イ)の扱いですが...
割り算による解法にこのバリエーションがあるとは考えもしませんでした。
6,5,4,0,1と確認すれば暗算でも割り算できそうですね。(その後の展開は
ソラでは私には無理ですが…)
アンドロメダ さん 2016/11/20 17:07:52 報告
6
どうせなら 「(ii)かつ条件ロ」 も上のような方法で求めてみたい…と思案中です。
([式:…] をそれぞれ求めてから [式:…] を出すのは、ちょっともどかしいですよね)

まだここで披露できるほど整理洗練はされてませんが、
   [式:…]
と考えれば、割りと自然に
   [式:…]
が得られます。
この解法のメリットは、[式:…] をそれぞれ求めるじれったさから解放されただけでなく、[式:…] なのか [式:…] なのか神経を使わなくて済むし、何度も「複号同順」という四字熟語を書かなくて済む、という点にもあるでしょう。
アンドロメダ さん 2016/11/21 08:27:30 報告
7
> 上のような方法で
というと...
 [式:…]
[式:…]
[式:…]
[式:…]
または[式:…]
辺りでしょうか?
honda さん 2016/11/22 10:20:11 報告
8
>>7
私の考えていたのはhondaさんのような鮮やかなのではなくて、
条件(ロ)に拘泥した低空飛行です…

(条件(ロ)を活用した計算も場合分けも少ない試験場でもできそうな解法を探りたい…というのが私の気持ちです)

   [式:…]
のとき、条件(ロ)があるので、
   [式:…]
などが分かります。すると、
   [式:…]
条件(ロ)より [式:…] なので
   [式:…]
となります。
(十分を確認しないといけないので、かっこ悪いですが…)
アンドロメダ さん 2016/11/22 22:07:24 報告
9
> 探りたい
ということなら...
(イ)により,[式:…] の根の集合 [式:…] は関数 [式:…] に関して閉じている(*)が,[式:…] だから,[式:…] ならば,[式:…] の中には等しいものがあり
 [式:…] または
 [式:…]
つまり
 [式:…]
が必要で,それぞれに対して
 [式:…]
なので,(イ)を満たす [式:…] の根の集合は
 [式:…]
 [式:…]
のみ.

なお,一般の次数で(*)⇒(イ)とならないことは,例えば [式:…] から判りますね.
honda さん 2016/11/23 09:17:11 報告
10
>>9
有難うございます。
受験生がこんな冴えた解答を思いつけるかどうかはおいとくとして…
こうすれば一気に(統一的に)解けるわけですね。
アンドロメダ さん 2016/11/23 22:48:36 報告