●大模試のボツ問題で恐縮です

  • 公開日時: 2016/11/09 23:47
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  • カテゴリ: 入試・教育

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1
My Memo

1989 京 大/ 文理共通

[式:…][式:…]の実数[式:…]があり, 各[式:…]は他の[式:…]個の相加平均よりは大きくはないという.
このような[式:…]の組をすべて求めよ.

199? VMO

1973? RMO
近谷 邦彦 さん 2016/11/10 00:04:27 報告
2
解いてみました. 森さんの示されている解答と同じ方針になりましたので,感想だけ書きます.
条件(イ)から,どうせ(?)[式:…][式:…]だろうと予想し,実験を繰り返すと前者であることがわかりました. 数学的帰納法を使って証明する際にも実験と同じ手順をとりましたが,条件(ハ)の使い方が難しく([式:…]を求めるのに[式:…]まで経由しなければならない) ,また数学的帰納法の仮定の使い方もおもしろいです. 条件(ロ)も結構使いどころですね.

この手の数列の問題としては83東京大2番なんかがありますね.
??? さん 2016/11/10 14:56:05 報告
3
途中経過みたいな話ですみません。

まず(ハ)は平均に [式:…] も加える、つまり
   [式:…]
としたほうが簡明でしょう。森さんの解答でもその形にしています。

次に(これが本題みたいなものですが)[式:…] は整数列とされていますが(整数条件)、これはおそらく過剰条件で、実数列でも成り立つと思います(実数条件:後述)。
ただし、整数条件のほうが証明は簡単で(森さんの証明もそうなっています)、実数条件の場合、まだ証明できてませんし、できるにしてももっと複雑になります。

=========
さて、[式:…] が解答になることは容易に予想できますし、検証も簡単です。
したがって解として一意であることを示すという方針が考えられます。
つまり [式:…] が(イ)(ロ)(ハ)を満たす数列のとき、[式:…](数列として等しいこと)を示すわけです。
   [式:…] つまり [式:…]
とおけば、
   [式:…]
は確定しますから
   [式:…]
この条件のもとで、[式:…] を示すことが目標です。

あとあとのために、いくつかの記号を導入しておきます。
   [式:…]
   [式:…]
したがって
   [式:…]
[式:…][式:…] と書いたほうがいいかもしれないけど、必要ならあとで修正します。)

次の命題 [式:…] が基本になります。
まず [式:…] についても(ハ)が成り立ちます:
   [式:…]
実際、仮定より [式:…] について(ハ)が成り立つので
   [式:…]
     [式:…]
だからです(ただし [式:…] は(ロ)を満たすとは限りません)。

次に:
   [式:…]
これは:
   [式:…]
から得られます。
したがって [式:…][式:…] に対して [式:…] より大きく減少すると、([式:…] についての)単調増加条件(ロ)が満たされません。

=========
上を用いて、背理法により [式:…] を示します。
[式:…][式:…] でない値を [式:…] で初めてとるとします(背理法の仮定):
   [式:…]
   [式:…]

まず [式:…] は偶数でなければなりません。
実際、奇数 [式:…] とすると
   [式:…]
ですが、[式:…] なので [式:…] に反します。

そこで [式:…] とします。
[式:…] なので、[式:…] が成り立つためには:
   [式:…]
つまりは
   [式:…]
でなければなりません。さらに [式:…] より
   [式:…]
であることが必要です。


【整数条件】
整数条件(原問題)の場合、[式:…] は整数値しかとれません。
上記の [式:…] について、[式:…] とすると
   [式:…]
となり [式:…] に抵触します。一方 [式:…] とすると([式:…] だから)直ちに [式:…] に抵触します。したがって
   [式:…]
でしかありえません。これは以下の [式:…] でも同様で、
   [式:…]
   [式:…]
のいずれかでしかありえません。

[式:…] であり、[式:…] より
   [式:…]
したがって:
   [式:…]
でなければなりません。[式:…] を踏まえると、
   [式:…]
でなければなりませんが、([式:…] と併せて)[式:…] に抵触せずにこれを実現するのは不可能です。
【証明終】

注:この証明は、見かけは異なりますが、森さんの証明と実質的には同じと言っていいでしょう。


【実数条件】
実数条件の場合、上と同じ設定で [式:…] とすると、今度は第1ステップの [式:…] をクリアするために [式:…] がとりうる値は:
   [式:…]
と広がります(整数条件の場合は [式:…] しかとりえなかった)。
このとき [式:…] であり、また
   [式:…] だから [式:…]
したがって
   [式:…]
ですが、[式:…] が十分小さければ、必ずしも [式:…] に抵触するとは限りません。
しかし「初期変動」の [式:…] が約 [式:…]倍に「増幅」されており、以下の項でもさらに「増幅」が生じて、いずれは [式:…] に抵触すると予想されます。
ただし、その証明はまだできていません。皆さんも考えてみてください。
平賀 譲 さん 2016/11/13 19:28:12 報告
4
とりあえず,なコメントなのですが.

本問は等差3項 [式:…] に対して [式:…] が成り立つことを
一般化してみたらどうなるのだろう? の好奇心が出発点です.

整数列に制限すればなんとか [式:…] を確定できるだろうと思いました.
平賀さんの指摘された「実数列」への拡張は考えていませんでした.
「これは解けそうにない!」と思ったからです.(苦笑)

ちなみに(ロ)の条件を [式:…] とすると問題としては
しょぼくなりますが,それでも京◆模試では不採用でした.(笑)

近谷さんと???さんのご指摘も参考になります.どうもありがとう.
1989京大は最大項に着目すればあっさり解決する問題だったと記憶しています.本問は1983東大に雰囲気が似ていますね.
森 宏征 さん 2016/11/13 21:05:57 報告
5
>> 4

違う方向の展開としては、
   [式:…]

が常に成り立つとき [式:…](一次関数(ないし定数関数))か、といったことが考えられますね。
実はこの方向からの本問への解答も考えてみてはいるのですが。
平賀 譲 さん 2016/11/13 21:38:40 報告
6
Chebyshev-Hadamard inequality
近谷 邦彦 さん 2017/03/17 12:38:35 報告
\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \setlength{\topmargin}{-10mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{440pt} \setlength{\textheight}{670pt} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{graphicx} \usepackage{delarray} \usepackage{multicol} \usepackage{amscd} \usepackage{pifont} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{fancybox} \usepackage{vector3} %\usepackage{myhyper} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} ●大模試用に作成した問題ですが「難しすぎる」ということで ボツになってしまったものです. もし興味がありましたら解いてみてください. 京◆模試ではこのレベルでボツです.(笑) 解答は次のページにあります. おっと! $\mathbb{N} = \{x\>|\>xは自然数\}$ です. \vskip 3zw \hrule height 2pt \vskip 1zw \noindent{\bf 問題} 正の整数からなる数列 $\{a_n\}$ が 次の条件(イ),\enskip(ロ),\enskip(ハ)をみたしている. %\vspace{-2mm} \begin{enumerate} \item[(イ)]  $a_1 = 1,\enskip a_2 = 2$ \item[(ロ)]  $a_n \leqq a_{n+1} \enskip(n \in \mathbb{N})$ \item[(ハ)]  $a_n$ は $a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_{n-1},\ a_{n+1},\ a_{n+2},\ \cdots,\ a_{2n-1}$ の平均に等しい. \end{enumerate} %\vspace{-2mm} このとき $a_n$ を求めよ. \vskip 1zw \hrule height 2pt \newpage \noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \Ovalbox{解答}} \vskip 2mm (ハ)の条件を整理すると, \begin{gather*} \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1} + a_{n+1} + \cdots + a_{2n-1}} {2n - 2} = a_n \\ \therefore \enskip a_1 + a_2 + \cdots + a_{2n-1} % \sum_{k=1}^{2n-1} a_k = (2n - 1)a_n \tag*{$\cdott\MARU{1}$} \end{gather*} (イ),\enskip\MARU{1}より \begin{gather*} \underbrace{\,a_1 + a_2\,}_{3}{} + a_3 = 3a_2 = 6 \qquad % \qquad % 3 + a_3 = 6 \\ \therefore \enskip a_3 = 3 \\ \underbrace{\,a_1 + a_2 + a_3\,}_{3a_2 = 6}{} + a_4 + a_5 = 5a_3 = 15 \qquad % \qquad % 3 \cdot 2 + a_4 + a_5 = 5 \cdot 3 \\ \therefore \enskip a_4 + a_5 = 9 \end{gather*} (ロ)より, \begin{gather*} (a_4,\ a_5) = (3,\ 6),\ (4,\ 5) \end{gather*} $(a_4,\ a_5) = (3,\ 6)$ とする. (ハ)より, \begin{gather*} \underbrace{\,a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5\,}_{5a_3 = 15}{} + a_6 + a_7 = 7a_4 = 21 \qquad \therefore \enskip a_6 + a_7 = 6 \end{gather*} (ロ)より,$6 = a_5 \leqq a_6 \leqq a_7$ だから, \begin{gather*} a_6 + a_7 \geqq 6 + 6 = 12 > 6 \end{gather*} となり不合理. ゆえに $(a_4,\ a_5) = (4,\ 5)$. 上の観察より \begin{align*} a_{2m} = 2m,\quad a_{2m+1} = 2m+1 \quad(m \in \mathbb{N}) \tag*{$\cdott{\color[named]{WildStrawberry}(*)}$} \end{align*} と推定される. {\color[named]{WildStrawberry}$(*)$} を数学的帰納法で示す. % %\newpage % % \vspace{-2mm} \begin{enumerate} \item[(I)]  $m = 1$ のとき {\color[named]{WildStrawberry}$(*)$} が成り立つことは確認済み. \item[(II)]  $m \leqq k$ のとき {\color[named]{WildStrawberry}$(*)$} が成り立つとすると, \begin{gather*} a_j = j,\quad j = 1,\ 2,\ \cdots,\ 2k,\ 2k+1 \end{gather*} \MARU{1}より, \begin{gather*} \underbrace{\,a_1 + a_2 + \cdots + a_{2k} + a_{2k+1}\,} _{(2k+1)a_{k+1}}{} + a_{2k+2} + a_{2k+3} = (2k + 3)a_{k+2} \displaybreak[0] \\ \qquad a_{2k+2} + a_{2k+3} = (2k+3)(k+2) - (2k+1)(k+1) \\ \therefore \enskip a_{2k+2} + a_{2k+3} = 4k + 5 \end{gather*} $a_{2k+1} = 2k + 1$ だから(ロ)より, \begin{gather*} (a_{2k+2},\ a_{2k+3}) = (2k+1,\ 2k+4),\ (2k+2,\ 2k+3) \end{gather*} $(a_{2k+2},\ a_{2k+3}) = (2k+1,\ 2k+4)$ とする. \MARU{1}より, \begin{align*} a_1 + a_2 + \cdots + a_{4k+1} = (4k + 1)a_{2k+1} = (4k + 1)(2k + 1) \tag*{$\cdott\MARU{2}$} \end{align*} \vspace*{-1.9zw} \begin{align*} a_1 + a_2 + \cdots + a_{4k+1} + a_{4k+2} + a_{4k+3} &= (4k + 3)a_{2k+2} \\ &= (4k + 3)(2k + 1) \tag*{$\cdott\MARU{3}$} \end{align*} $\MARU{3} - \MARU{2}$より, \begin{align*} a_{4k+2} + a_{4k+3} &= (4k + 3)(2k + 1) - (4k + 1)(2k + 1) \\ &= 4k + 2 \tag*{$\cdott\MARU{4}$} \end{align*} $a_{2k+3} = 2k + 4$ および(ロ)から $2k + 4 \leqq a_{4k+2} \leqq a_{4k+3}$.よって, \begin{gather*} a_{4k+2} + a_{4k+3} \geqq (2k + 4) + (2k + 4) = 4k + 8 \tag*{$\cdott\MARU{5}$} \end{gather*} \MARU{4},\enskip\MARU{5}より \begin{gather*} 4k + 8 \leqq 4k + 2 \qquad \therefore \enskip 6 \leqq 0 \end{gather*} となり不合理. したがって $(a_{2k+2},\ a_{2k+3}) = (2k + 2,\ 2k + 3)$.  ゆえに $n = k + 1$ のときも {\color[named]{WildStrawberry}$(*)$} は成り立つ. \end{enumerate} %\vspace{-2mm} (I),\enskip(II)より {\color[named]{WildStrawberry}$(*)$} は示された. 以上より \begin{align*} a_n = \color{red}{\boldsymbol{n}} \tag*{$\Ans$} \end{align*} \end{document}