三角関数にまつわる等式・不等式

??? さん

  • 公開日時: 2016/10/25 19:08
  • 閲覧数: 2804
  • コメント数: 8
  • カテゴリ: 入試・教育

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1
(2) A=B=C=π/3のとき
  左辺=3√3/2, 右辺=1/2 で等式が成立しない。
  右辺は、4sinAsinBsinCではないでしょうか?
  
クロニャンコ さん 2016/10/25 21:06:50 報告
2
あら. これは失礼しました.
訂正しておきます.
[式:…]になるのは
[式:…]
の方ですね. ついでにこれも追加しておきます.
??? さん 2016/10/25 21:32:49 報告
3
(1),(2),(3)は、高校生に手頃な問題ですね。
(1)の解答
[式:…],[式:…]
ゆえに、[式:…]となり
分母を払って、整理すれば
[式:…]
(2),(3)は、和積の練習。
(4)は、色々変形はあると思いますが(2),(3)を利用して
[式:…] [式:…]であるから、[式:…]を示すことと同値。
ここで、[式:…] [式:…] [式:…] なぜなら、[式:…]より[式:…]
相加平均と相乗平均の大小関係から
[式:…]・・・①

同様にして、[式:…]・・・②[式:…]・・・③
①,②,③の辺々をかけて
[式:…] 等号成立A=B=C=π/3
クロニャンコ さん 2016/10/26 18:11:09 報告
4
そんな解き方もあるんですね. 三角関数の問題は解き方が無数にありそうです.
なお,2ページ目に解答を追加しました. 参考までに.
ちなみに,この問題は結果的に(?),(1)は独立した問題で,入門編といった感じ,(2)が応用編で,(3)は(2)と同じ考え方の利用,(4)は(2)(3)の利用といった構成になりました. どれも[式:…]と和積・積和の公式をフル活用しています (一応,どの変形もあてずっぽではなくそれなりの考え方をもっていますが,それについては文字数が多くなりすぎるので書いていません) .
??? さん 2016/10/27 23:12:22 報告
5
(4)

[式:…]

[式:…]

[式:…]

近谷邦彦 さん 2016/10/28 01:44:26 報告
6
鮮やかですね.
[式:…]記号を使った経験がないので,私にはあまりピンときません.
??? さん 2016/10/28 16:32:32 報告
7
私も (4) を考えてみました。

[式:…] はいずれも正とします。

[式:…] の三辺の長さは常のごとく[式:…]
外心、内心をそれぞれ [式:…]
外接円、内接円の半径をそれぞれ [式:…] とします。

  [式:…]

一方、

  [式:…]

したがって、

  [式:…]

つまり、

  [式:…]

を示せばいいわけですが、[式:…] の三辺の中点を通る円の直径 [式:…][式:…] の内接円の直径 [式:…] の比較なので、火を見るより明らか?
アンドロメダ さん 2016/10/28 20:45:16 報告
8
>アンドロメダさん

面白い解法ですね. 「なぜ三角形の内角について[式:…]という綺麗な不等式が成り立つのだろう?どういう背景があるのか?」という疑問も,これを見れば[式:…] (オイラーの不等式) との関係性がわかりなるほどと思わされます. オイラーの不等式もまた解法がたくさんある問題で,06京大後期に出題されていますね. 本問なら3中点を通る円を考えておしまいでいいでしょうが,単体で問われた場合に記述量の少なさを心もとなく感じるならばオイラーの定理[式:…]を導いてしまって示すのも楽かもしれません (オイラーの定理自体は難問ですが. 私は幾何的証明に馴染みがありますが,信州大医学部の入試でベクトルによる証明が出題されており,それでもよいかも) .
??? さん 2016/10/28 22:29:23 報告
\documentclass{jsarticle} \usepackage{ceo} \begin{document} $A+B+C=\pi$とする. 以下の等式または不等式を示せ. \\ \kakkoichi\hspace{1zw}$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C$\\ \kakkoni\hspace{1zw}$\sin A+\sin B+\sin C=4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}$\\ \kakkosan\hspace{1zw}$\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C=4\sin A\sin B\sin C$\\ \kakkoshi\hspace{1zw}$\sin A+\sin B+\sin C\geq\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C$\\ \hspace{-1zw}\chu\hspace{1zw}次ページに解答を追加しました. 2016/10/27 \newpage \hspace{-1zw}\kai\\ \kakkoichib\hspace{1zw}$\tan C=\tan(\pi-A-B)=-\tan(A+B)=-\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}$より,\\ \hspace{3zw}$\tan C-\tan A\tan B\tan C=-\tan A-\tan B$\\ $\Y \tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C$\\ \kakkonib\hspace{1zw}$\sin A+\sin B+\sin C$\\ \hspace{2zw}$=\sin A+\sin B+\sin(\pi-C)$\\ \hspace{2zw}$=\sin A+\sin B+\sin(A+B)$\\ \hspace{2zw}$=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}+2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A+B}{2}$\\ \hspace{2zw}$=2\sin\frac{A+B}{2}\left(\cos\frac{A-B}{2}+\cos\frac{A+B}{2}\right)$\\ \hspace{2zw}$=2\sin\frac{\pi-C}{2}\cdot 2\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}$\\ \hspace{2zw}$=4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}$\\ \kakkosanb\hspace{1zw}$\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C$\\ \hspace{2zw}$=\sin 2A+\sin 2B+\sin(2\pi-2A-2B)$\\ \hspace{2zw}$=\sin 2A+\sin 2B-\sin(2A+2B)$\\ \hspace{2zw}$=2\sin(A+B)\cos(A-B)-2\sin(A+B)\cos(A+B)$\\ \hspace{2zw}$=2\sin(A+B)\left\{\cos(A-B)-\cos(A+B)\right\}$\\ \hspace{2zw}$=2\sin(\pi-C)\cdot 2\sin A\sin B$\\ \hspace{2zw}$=4\sin A\sin B\sin C$\\ \kakkoshib\hspace{1zw}$\sin A+\sin B+\sin C\geq\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C$を示す. \\ \hspace{1zw}\kakkosan の結果より\\ \hspace{3zw}$\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C=8\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\cdot 4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}$\\ \hspace{2zw}$=\sitabrace{8\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}}_{=f(A,B,C)とおく}(\sin A+\sin B+\sin C)$\\ \hspace{1zw}$f(A,B,C)\leq 1$を示す. \\ \hspace{3zw}$f(A,B,C)=8\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{\pi-A-B}{2}$\\ \hspace{2zw}$=8\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{A+B}{2}$\\ \hspace{2zw}$=4\left(\cos\frac{A-B}{2}-\cos\frac{A+B}{2}\right)\cos\frac{A+B}{2}$\\ \hspace{2zw}$=4\left(\cos\frac{A-B}{2}-\sin\frac{C}{2}\right)\sin\frac{C}{2}$\\ \hspace{2zw}$\leq 4\left(1-\sin\frac{C}{2}\right)\sin\frac{C}{2}$\\ \hspace{2zw}$=-4\sin^2\frac{C}{2}+4\sin\frac{C}{2}$\\ \hspace{2zw}$=-4\left(\sin\frac{C}{2}-\frac{1}{2}\right)^2+1$\\ \hspace{2zw}$\leq 1$\\ したがって,$\sin A+\sin B+\sin C\geq\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C$ \end{document}