スターリングの公式

  • 公開日時: 2016/10/12 21:00
  • 閲覧数: 2706
  • コメント数: 4
  • カテゴリ: 教養・雑学

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1
2015年の阪大挑戦枠に,誘導つきで
[式:…]とするとき,[式:…]であることを示せ.
という問題が出ていますね. どういう誘導かというと
(1)でウォリスの公式を示させる
(2)で台形近似により[式:…]を評価させる
(3)で[式:…]の証明
(4)で(3)を利用して結論に至るという形ですが,(1)(2)はやや無理のある出題です (知識問題に近いかも) .

追記 2016/11/21
(2)は台形近似を使わずに微分法でもできたはずです.
??? さん 2016/10/12 23:42:42 報告
2
今頃ですみませんが質問です。

これは
   [式:…]
つまり
   [式:…]
としたときの
   [式:…]
を所与ないし前提として
   [式:…]
を示せという話ですか、それとも (1) という前提なしに直接 (2) を示せという話でしょうか?

前者であるなら話は簡単、というかわかりやすい(例えば [式:…] が単調減少であることを示せばよい:その過程で東大の問題も使える)。

一方、後者だとすると、解答としてまず (1) を(標準的な手法とかにより)示せば上の場合に戻る。しかしそれでは問題としてあまり面白くない。
そうではなく、(1) を回避して直接的に (2) を示すうまい方法があるということでしょうか?
その場合、[式:…] の処理が問題になりそうです。Wallis の公式とかを使わないような方法があるのかな。
平賀 譲 さん 2016/11/13 22:39:53 報告
3
あ、前者です。
今年の東大の問題も出てくるし、気楽な話題、雑学としていいかな…?
てな感じです。

ウォリスの公式やガウス積分みたいなものは不可避な気がします…
アンドロメダ さん 2016/11/14 10:45:37 報告
4
それだと:
   [式:…]
を示すとかで十分ですね。

> ウォリスの公式やガウス積分みたいなものは不可避な気がします…

そう思います。
平賀 譲 さん 2016/11/14 12:11:19 報告
\documentclass[fleqn,12pt]{jsarticle} \usepackage[margin=.8in]{geometry} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage{emathP} \begin{document} \noindent 雑学です。スターリングの“不等式”とでも呼ぶべきものですが…。\\ \noindent $n$を自然数、$\pi$ を円周率、$e$ をネイピア数とします。 \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \] が成り立つのは有名ですが、実は左辺と右辺の関係は \[ n! > \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \] となっています。\\ \noindent 証明の最中に今年の東大の問題が出てくる…かな? \end{document}