cosの和と余り(自作問題)

  • 公開日時: 2016/08/16 20:16
  • 閲覧数: 2063
  • コメント数: 2
  • カテゴリ: 入試・教育

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No メッセージ 投稿者 日時    
1
こういうゴツイ問題は苦手なんですが。

第一感、複素数、1の原始根。
また一読した時点での疑問
・なぜ平方因子で書かれているのか?
 (意味がある/親切? 目眩まし?)
・なぜ 0 から 2016 までの和なのか?(2015 ではなく?)
・なぜ 2016乗?(別に他のべき乗でも自然数にはなるのに)
・それも含めて、2016 に特別な意味はあるか?それとも一般に成り立つ話か?

先に答から言えば 2016 です(のはず)。

以下はかなり腕力ずくの、正面突破の解答です。

=============
[式:…] とします。
「平方因子」については素直に分解して:
   [式:…]
[式:…] を次のように定義します([式:…]:1 の原始 [式:…]乗根の1つ)。
   [式:…]
   [式:…]

必要に応じて [式:…][式:…] のように下付きで書く記法を併用します。
   [式:…]
なので
   [式:…]
2項展開して
     [式:…]
ただし [式:…][式:…] の原始 [式:…]乗根です。したがって与式は:
   [式:…]
      [式:…]

内側のΣは、[式:…] のとき [式:…] なので、
   [式:…]
そうでなければ、[式:…] であり、[式:…] なので
   [式:…]
したがって
   [式:…]
以上より
   [式:…]
つまり与式は
   [式:…]
と表せます。この結果から、あるいは途中の段階でも、値が自然数であることは明らかでしょう。ここまでは [式:…] が何であっても成り立ちます。

問題は [式:…] で割った余りです。[式:…] が素数なら:
(1) フェルマーの小定理により:
   [式:…]
(2) [式:…] のうちで [式:…] を素因数に持つのは [式:…] の1個だけ。
  [式:…] は整数だから [式:…] で割り切れる:
   [式:…]

したがって:
   [式:…]

[式:…] は素数ですから、与式を [式:…] で割った余りは [式:…]

[式:…] が素数でない場合は.....知らん。
平賀 譲 さん 2016/09/15 21:23:16 報告
2
有難うございます。
精緻な議論は流石で、もちろん [式:…] で正解です。

平賀先生のような達人に解いていただくなら、
[式:…] を自然数、[式:…] を素数として、

[式:…]

でもよかったかなぁ…と少し反省しています。
アンドロメダ さん 2016/09/16 03:27:57 報告
\documentclass[fleqn,12pt]{jsarticle} \usepackage[margin=.8in]{geometry} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage{emathP} \begin{document} \noindent 問題を作ってみました。考えてみて下さい。 \\ \shadowbox{問題} \[ \sum_{k=0}^{2016} \left( 4 \cos^{2} \frac{k \pi}{2016} \right)^{2016} \] は自然数であることを示して、$2017$ で割った余りを求めて下さい。 \end{document}