整数問題(新作)

外接円 さん

  • 公開日時: 2016/07/25 02:50
  • 閲覧数: 3377
  • コメント数: 5
  • カテゴリ: その他

難易度は低めですが、友人に対して出題してみたところ、意外にも正答率が低かった問題です。

 

[式:…]を自然数とする。[式:…][式:…]を割り切らないための必要十分条件を求めよ。

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1
今年の東工大
4.nを2以上の自然数とする。
(1)nが素数または4のとき,(n-1)!はnで割り切れないことを示せ。
(2)nが素数でなくかつ4でもないとき,(n-1)!はnで割り切れることを示せ。
受験生は,論理的に解答をかけるかで差がつきそうです。
クロニャンコ さん 2016/07/25 19:26:03 報告
2
なるほど……東工大で全く同じものが出題されていたとは知りませんでした。

以下が私の作った答案です。

まず、n=1であるとき、(nー1)!はnで割り切れる。以下、n≧2とする。
nが2以上の異なる2つの自然数の積で表せるとき、
n=xy(x,yは互いに異なる2以上の自然数)とおくと、明らかに
2≦x≦n-1
2≦y≦n-1
x≠yより、(n-1)!はx,yの両方を因数にもつ。
以上より、nが2以上の異なる2つの自然数の積で表せるとき、nは(n-1)!を割りきることが示された。

nが2以上の異なる2つの自然数の積で表せないのは、pを素数として
(A)n=p
または
(B)n=p^2
と表される場合である。

(A)の場合
(n-1)!は(p-1)以下の全ての自然数の積であるが、p(=n)は素数なのでこれらは全てpと互いに素である。よって、nが素数であるとき、nは(n-1)!を割りきらない。

(B)の場合
p≧2であるから、
2≦p≦p^2-1=n-1
より、(n-1)!はpを因数にもつ。nが(n-1)!を割りきるためには2以上(n-1)以下の自然数の中に少なくともpの倍数が2つ含まれていなければならない。
正の整数のうち、2番目に小さいpの倍数は2pであるから、
n-1=p^2-1≧2p (ただし、p>0)
ならば、nは(n-1)!を割りきることになる。
この不等式を解くと、
p≧3>1+√2
よって、pが3以上のとき、nは(n-1)!を割りきる。
したがって、(B)の場合において、nが(n-1)!を割りきらないのは
p=2、すなわちn=4のときのみである。

以上より、nが(n-1)!を割りきらないための必要十分条件は
「n=4またはnが素数である」
外接円 さん 2016/07/25 21:13:38 報告
3
2011年 東工大 特別入試
1番 n!がn^2の倍数となるような自然数nをすべて求めよ。

2011年には「整数の性質」という単元が教科書に入っていなかったので
特別入試の問題になったのか?
高校生にとって、きちんと論理的解答を記述することは練習不足もあり難しいと感じます。

外接円さん:素敵な問題つくりをされますね。整数問題は、面白く奥が深い。
クロニャンコ さん 2016/07/26 20:50:15 報告
4
お褒めの言葉を頂けて嬉しく思います。
実はこの問題、ここに投稿する数週間前にTwitter上にアップしておりまして、その際

・nが素数である
・nが平方数である
・nが6で割って1余る自然数である
・上記3つの中に答えはない

の4つの選択肢から解答を選ぶ形式をとりました。

しかし、1番下を選んだ人が全体の3割弱にとどまったので、自分の中で比較的よくできた問題だったこともあって、後日別に上げた答案と一緒にこちらで披露させて頂きました。

私も整数問題は大好きですが、分野を問わず、良い問題ができたらまた来ます。
外接円 さん 2016/07/28 00:33:15 報告
5
Wilson's theorem ^^

[1] Show that if n≥ 6 is composite, then n divides (n-1)!.

[2] Find all natural numbers n such that n^2 does not divide n!.

[3] Show that there exist infinitely many positive integers n such that n^2+1 divides n!.


近谷邦彦 さん 2016/07/29 11:10:10 報告