数列の不等式

  • 公開日時: 2016/03/14 08:31
  • 閲覧数: 3845
  • コメント数: 10
  • カテゴリ: 入試・教育

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1
>>3と14が出てくるだけの問題ですが
与えられたような4項間の漸化式、面白そうな問題なので
考えてみましたが、・・・?
上記以外のヒントをくださいませんか?
3月14日の投稿日?
クロニャンコ さん 2016/04/03 09:02:37 報告
2
3, 14 と言えば円周率(3/14 は円周率の日?)。
円周率と言えば円。
3数(3, 5, 7 とか)と言えば三角形。
三角形と円と言えば外接円(く、くるしい)。
外接円と言えば直径。

# にしてもうまくできている問題ですね。
平賀 譲 さん 2016/04/11 17:59:59 報告
3
平賀先生
ヒントありがとうございます。

>>・・・外接円と言えば直径。

>># にしてもうまくできている問題ですね。

とても気が付きませんでした。

3辺の長さが3,5,7の三角形の外接円の直径は[式:…]
どの三辺も直径より短い。

与えられた漸化式を利用して
3辺の長さが、[式:…]
の三角形の外接円の直径が[式:…]を示せばよい。計算めんどうですが、成立しますね。

面白い問題。
クロニャンコ さん 2016/04/11 20:30:36 報告
4
> 計算めんどうです
等脚台形にトレミーの定理を用いてはどうでしょう?
honda さん 2016/04/11 21:14:54 報告
5
hondaさん
コメントありがとうございます。
>>等脚台形にトレミーの定理を用いてはどうでしょう?

どのようにして、漸化式を考え付いたのか
見当もつきませんでしたが、
三角形の外接円の直径≧三角形の最大辺の長さ
とhondaさんの指摘された等脚台形にトレミーの定理を組み合わせて問題にされた?のなら、納得です。




クロニャンコ さん 2016/04/12 19:55:00 報告
6
この数列についての勝手な疑問.

・項が [式:…] になることはないのでしょうか?(例えば [式:…] だと [式:…] になります)

[式:…] は値域の上限でしょうか?

・更に,値域は [式:…] において稠密でしょうか?
honda さん 2016/04/13 19:31:10 報告
7
> ・項が [式:…] になることはないのでしょうか?

いつもながら 「 う゛っ… 」 とくるご指摘ですね…。
漸化式の well-defined 的なことに疑義を抱かれているのですね。
毎回同じような弁解をしてますが、これが素人芸というものです。
(胸を張っているわけではありません。申し訳なく思っています。)
アンドロメダ さん 2016/04/14 08:28:05 報告
8
まず、私は当初:
  「円周率と言えば三角関数」
と考えて行き詰っていました。倍角公式とか使った三角関数の漸化式、というわけです。なまじ:
   [式:…]
なんてのも見えるし。ところが後知恵で考えると、正弦定理があるから三角関数で表せるんですね。背景となるのは次の等式です。
   [式:…]
もっとも角の範囲の取り方が面倒で、上の分母も [式:…] ではなく [式:…] と書くべきところです。

==========================
それはさておき。

項の符号の意味がよくわからないのですが、漸化式を
   [式:…]
としても、出てくる数値は(符号を無視して)変わらないので、状況に応じてこちらの形で考えます。

また連続する3項を [式:…] のように書きます。

そこで honda さんのコメント #6 について。解答ではありませんが。

======
* 項が [式:…] になることはないか。

[式:…] となる必要十分条件は [式:…]、したがって初期値が
   [式:…]
であればいきなり [式:…] になります。
図形的には二等辺三角形の場合で、等脚台形に当てはめれば平行な辺の一方が長さ [式:…] につぶれた場合にあたります。

等脚台形という図形的な意味に当てはめて考えても、この漸化式は「逆回し」可能で、初期値 [式:…] から出発して [式:…] に至るなら、[式:…] を初期値とすると [式:…] という項列が生じます(項の順番に注意)。

したがって、[式:…] を初期値とする数列に3項列 [式:…] があれば、[式:…] を初期値とすれば、[式:…] に至り、次項は [式:…] になります。
二等辺三角形 [式:…] の底角を [式:…] とすれば [式:…] なので、初期値は
   [式:…]
外接円の半径 [式:…] はどうでもいいので、[式:…] として、初期値
   [式:…]
である数列中の3項列の逆順が、[式:…] に至る初期値組のすべてです。[式:…] になったところで漸化式は止まりますから、そのような数列を「有限列」と呼びましょう。

すると問題は:
(a) 無限列は存在するか
(b) 有限列と無限列とを(初期値によって)区別する判定方法はあるか
  (有限列固有の不変量はあるか、等々)
(c) 特に [式:…] は有限列か、無限列か
(d) (無限列中に)周期列は存在するか
  (これは honda さんの稠密性とも関連する)
(e) 初期値を [式:…] とする数列は有限列になることがあるか

といったあたりです。
辺の長さでなく、冒頭に記したように角で考えたほうが扱いやすいかもしれませんが、どのみちよくわかりません。

======
* [式:…] は値域の上限か。

上限もですが、(一般には)「最大値か」も問題でしょう。つまり直角三角形になる場合です。
これも上同様、逆回しで考えると、直角三角形の3辺(例えば [式:…])を初期値とする数列を逆回しすれば(=その中の3項列の逆順を初期値とすれば)、直角三角形に至る数列になります。
この意味では、問題文の不等式も
   [式:…]  ではなく  [式:…]
とすべきかもしれない(あ、失礼。[式:…] は有理数列だから等号は成り立ちませんね)。

上限や稠密性は手付かずですが、例えば本問の場合、[式:…] と書くと:
   [式:…]
となって相当なニアミスしてますねえ。[式:…] にかなり近い値は頻繁に現れるようです。間の稠密性は見当がつかない。
平賀 譲 さん 2016/04/14 12:44:37 報告
9
私が最初に考えたのはフィボナッチ数列です.実際,今回の漸化式は

 [式:…][式:…]

の積になっています...が,初期値がいけません...が,等脚台形の角についての漸化式を経て,偏角がフィボナッチタイプであることに思いが及び,次を得ました.

 [式:…]

 [式:…]

をみたす数列 [式:…] により

 [式:…]

となる.このことは,平賀先生の [式:…] 角関数の等式を

 [式:…]

とみれば直ちに得られますね.
honda さん 2016/04/14 22:30:59 報告
10
[式:…] について

[式:…] により,[式:…] ならば,[式:…] であり

 [式:…]

なので,[式:…] とおくと,逆向きの漸化式

 [式:…]

により,フィボナッチ数列 [式:…] を用いて

 [式:…]

と表せる.ここで,[式:…] は整数値だから

 [式:…]

したがって

 [式:…]

となるが

 [式:…]

だから,[式:…] の両辺を既約分数で表すと,チェビシェフの多項式の漸化式により,左辺,右辺の分母の [式:…] の指数は,それぞれ [式:…] となり,[式:…] に反する.

・稠密性,上限について

殆どすべての初期値に対して,フィボナッチタイプの数列[式:…][式:…] において一様分布(均等分布)であることが知られているので,その値域の連続像は [式:…] の像において稠密.ですが...
honda さん 2016/04/30 09:18:06 報告
\documentclass[fleqn,12pt]{jsarticle} \setlength{\topmargin}{-2cm} \setlength{\mathindent}{3zw} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage{emathP} \begin{document} ただ $3$ と $14$ が出てくるというだけの問題ですが…. \\ \shadowbox{問題} \\ 数列 $ \{ a_n \}_{n=1,2,3,...} $ を, \begin{eqnarray*} a_1 &=& 3 \\ a_2 &=& 5 \\ a_3 &=& 7 \\ a_{n+3} &=& \frac{a_{n+2}^2 -a_{n+1}^2 }{a_n} \,\,\,\,\, (n \ge 1) \end{eqnarray*} で定めます.任意の自然数 $n$ に対して \[ \left| a_n \right| < \frac{14}{\sqrt{3}} \] が成り立つことを示して下さい. \end{document}