過去問探訪~ある数列の問題~

  • 公開日時: 2016/05/21 00:00
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  • カテゴリ: 入試・教育

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1
>>管理人さま
記事を拡大すると、左の方が見られない(左の方へ移動できない)のは何故なのでしょうか?
アンドロメダ さん 2016/05/25 00:22:28 報告
\documentclass[fleqn,12pt]{jsarticle} \usepackage{geometry} \geometry{top=1cm, bottom=1cm, left=1cm, right=1cm} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{fancybox} \usepackage{emathP} \pagestyle{empty} \begin{document} 2003年~2004年にかけて,関西方面においてある数列の問題が一瞬だけ流行しました.\\ 以下の二題です(解いてみれば分かりますが,ほとんど同じ問題です). \begin{itembox}[l]{\shadowbox{2003 大阪大学 前期 理系 第4問}} 数列 $\{ a_k \}$ が $a_k < a_{k+1} \, (k=1,2, \cdots )$ および \[ a_{kl} = a_{k} + a_{l} \,\,\, (k=1,2, \cdots , l=1,2, \cdots) \] を満たすとする.\\ (1) $k,l$ を $2$ 以上の自然数とする.自然数 $n$ が与えられたとき,$l^{m-1} \le k^n < l^m$ を満たす自然数 $m$ が存在することを示せ.\\ (2) $k,l$ を $2$ 以上の自然数とするとき,$\displaystyle -\frac{1}{n} < \frac{a_k}{a_l} - \frac{ \log k}{\log l} < \frac{1}{n} \,\,(n=1,2, \cdots)$ が成り立つことを示せ.\\ (3) $a_2 =a$ とするとき,数列 $\{ a_k \}$ の一般項を求めよ. \end{itembox} \begin{itembox}[l]{\shadowbox{2004 京都府立医科大学 前期 第3問}} 無限数列 $ f(1), f(2), f(3), \cdots $ は次の (i)~(iii) を満たす.\\  (i) 任意の正の整数 $m,n$ に対して,$f(mn)=f(m)f(n)$ が成り立つ.\\  (ii) 任意の正の整数 $n$ に対して,$f(n) < f(n+1)$ が成り立つ. \\  (iii) $f(2)=2$ \\ このとき,\\ (1) 任意の正の整数 $n,k$ に対して,次のような整数 $p$ があることを示せ.$2^p \le n^k < 2^{p+1}$ \\ (2) 任意の正の整数 $n$ に対して,$f(n)=n$ であることを示せ. \end{itembox} 某参考書は,発想力の必要な難問だと評しました.たしかに受験生にはちょっと難しいですよね.\\ でも,すうじあむをご覧の皆様には,条件過多で面白くないのではないでしょうか.\\ 余計な条件をそぎ落とした決定版とでも言うべき以下の状況で一般項を決定してみて下さい. \begin{itembox}[l]{\shadowbox{決定版}} 実数からなる数列 $ f(1), f(2), f(3), \cdots $ は次の (i)~(iii) を満たしています.\\  (i) \underline{互いに素な自然数 $m,n$ に対して},$f(mn)=f(m)f(n)$ が成り立つ.\\  (ii) 任意の自然数 $n$ に対して,$f(n) \le f(n+1)$ が成り立つ. \\  (iii) $f(2) \neq 0$ \\ このとき,$0$ 以上の実数 $r$ が存在して,任意の自然数 $n$ に対して $f(n) = n^r$ であることを示して下さい. \end{itembox} \\ ちなみに,京府医のある条件をきつく,ある条件をゆるくすると愛すべきパズルちっくな問題になります. \begin{itembox}[l]{\shadowbox{パズル}} $f(1)<f(2)<f(3)< \cdots < f(n) < \cdots$ は\underline{自然数}からなる数列で,\\ \underline{互いに素な自然数 $m,n$ に対して},$f(mn)=f(m)f(n)$ が成り立つとします.\\ $f(2)=2$ のとき,$f(3)$ の値を求めて下さい.\\ 簡単なので,論証に現れる $f$ の中身がなるべく小さくなるようなものを考えてみて下さい. \end{itembox} \end{document}