初投稿

外接円 さん

  • 公開日時: 2016/02/14 17:41
  • 閲覧数: 4088
  • コメント数: 10
  • カテゴリ: パズル・クイズ

初めて投稿させていただきます、外接円と申します。

挨拶代わりと言っては何ですが、私の作成した問題を2問、ここに公開したいと思います。

私が作った、と言っても、すでに誰かが見つけて問題にされているかもしれませんが……。

2日後くらいに、解答を投稿したいと思います。

 

第1問

 中心をO、直径を線分ABにもつ半径4の半円がある。線分AO上に点P、孤AB上に2点Q、Rをとったところ、AP=1、PQ=2、∠PQR=90゜となっ た。このとき、線分PRの長さを求めよ。

第2問

 三角形ABCの外接円の半径をR、内接円の半径をrとする。

 R=2rが成立しているとき、三角形ABCは正三角形であることを示せ。

 

答えだけでなく、過程も示して頂けると嬉しいです。

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No メッセージ 投稿者 日時    
1
第1問
半円のもう半分を補って考える.
直線[式:…]と円との交点のうち[式:…]でないほうを[式:…]とする. 方べきの定理より
[式:…]
[式:…]
[式:…]
したがって[式:…]
つぎに,角[式:…]は直角より,[式:…]は円の直径である. 三角形[式:…]に三平方の定理を用いて
[式:…]
さらに,三角形[式:…]に三平方の定理を用いて
[式:…]
チュネズミ さん 2016/02/15 10:55:07 報告
2
第2問
[式:…]が成り立ちますが,これは2006京大後期に類題がある有名問題で,オイラーの不等式と呼ばれます. 本問は等号成立条件を求める問題ですが,どうも幾何的なやり方が思いつきません. 等号成立条件を気にせずに,[式:…]をとりあえず示すなら,
[式:…]の中点を各々[式:…]とする. 三角形[式:…]は三角形[式:…][式:…]倍に相似縮小したものだから,その外接円の半径[式:…][式:…]である. 一方,[式:…]が明らかに成り立つから,[式:…]である.」

追記
三角形[式:…]の内接円と[式:…]との接点を[式:…]として,等号が成立するとき[式:…]だから,角[式:…]の二等分線と辺[式:…]の交点が[式:…]となる. すなわち,[式:…]
他の辺についても同様にして,[式:…](あるいは[式:…])もわかるから,三角形[式:…][式:…]を満たす. すなわち三角形[式:…]は正三角形である.

これで示せているように見えますが,厳密性が足りない?
チュネズミ さん 2016/02/15 11:59:45 報告
3
先ほど学校が終わりまして、帰りのバス車内でこのコメントを書いております。

回答ありがとうございます。1問目については、正解です。
方べきの定理を用いずに、中線定理を使った解法があります。個人的にはこちらの方がややスマートな答案が書けるのではないかと思います。点OからQRに向かって垂線を下ろしてみてください。

なお、細かいことですが、A,Q,Rがこの順に半円の弧上に並ぶことを述べたほうが良いかも知れません。Rが孤AQ上にある可能性も問題文からだけでは否定できないので。

一旦切ります。
外接円 さん 2016/02/15 17:15:13 報告
4
2問目もしっかりと証明できています。京都大学で既に出題されているのですね。スマートな解法でいいと思います。

ここからは私が考えたことなのですが、この問題を以下の方針で解くことができるとはできないでしょうか。

1.
[式:…][式:…][式:…]
[式:…]の面積を[式:…]とおいて、r,Rを[式:…][式:…][式:…][式:…]を用いて表す。

2.
R=2rの条件式から、[式:…]およびr、Rを[式:…][式:…][式:…]を用いて表す。([式:…]を消去する)

3.
以上の条件を用いて、[式:…]を示す。

考えてみてください。
外接円 さん 2016/02/15 17:37:42 報告
5
>ここからは私が考えたことなのですが、この問題を以下の方針で解くことがで>きるとはできないでしょうか。

実は,私もはじめはこの解法を考えておりました. 正弦定理と三角形の面積公式から[式:…]を示し,三角形の面積を2通りに表して[式:…]を示して,[式:…]とヘロンの公式から[式:…]の関係を導こうとしましたが,計算が面倒で,やめてしまいました.
チュネズミ さん 2016/02/15 18:11:19 報告
6
先程の投稿内で変換ミスがありました。
以下の方法で解くことはできないでしょうか、でした。

やはり、計算が面倒ですよね。私がやった時も式だけが複雑になって、結論にたどり着けませんでした。

わざわざ私の問題のために時間を割いてくださり、嬉しい気持ちで一杯です。学校ではなかなか自分の数学の趣味を共有してくれる人が少ないので。
今後、また面白い問題が出来たらここに投稿したいと思います。
外接円 さん 2016/02/15 22:00:48 報告
7
(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) ≤ abc
近谷邦彦 さん 2016/02/16 22:46:05 報告
8
>近谷さん

調べてみたら,'75京府医大にこんな出題がありました.

(1) [式:…]を正の数とするとき,[式:…]を示せ.
(2) [式:…]が三角形の辺の長さを成すとき,[式:…]を示せ.

解答
(1) 相加平均相乗平均の関係から[式:…][式:…][式:…]
辺々正だから,掛け合わせて,
[式:…]
等号成立は[式:…]のとき.
(2) [式:…]とおくと,三角形の成立条件より[式:…]
[式:…]に(1)の不等式を適用して
[式:…]
[式:…]
[式:…]
等号成立は,[式:…],すなわち[式:…]のとき.

これを利用して第2問を解けますね. [式:…]でなく[式:…]が問題になっているところにも難しさがあると言えそうです.
チュネズミ さん 2016/02/18 10:31:43 報告
9
 外接円 さんの 関心の在処を知りたく

    16/02/14 17:41 初投稿 外接円 さん
         に漂着致しました;
  
          P,Q,R は 素直に
 {{-3, 0}, {4*Cos[q], 4*Sin[q]}, {4*Cos[r], 4*Sin[r]}}とおける。
  

直交の仮定から;
(-3 - 4 Cos[q]) (-4 Cos[q] + 4 Cos[r]) - 4 Sin[q] (-4 Sin[q] + 4 Sin[r]) = 0
これと  (-3 - 4 Cos[q])^2 + 16 Sin[q]^2 = 4 から

   {q -> ArcCos[-(7/8)], r -> ArcCos[17/32]}を獲て,

Sqrt[(-3 - 4 Cos[r])^2 + 16 Sin[r]^2]=Sqrt[151]/2。

( と まことに自然に コタエを ゲットす)




@t さん 2016/11/20 22:50:54 報告
10
>>2
第2問
定義より
BM=MC
∠ITB=∠ITC=90゚

R=2rが成立しているとき、
Tで接する内接円が中点Mを通ることから、T=M
∴ 2辺夾角相等により
△IBT≡△ICT
∴ ∠IBT=∠ICT
2倍して
∠B = ∠C
∴ 正三角形

>>5
R = abc/4S
2r = 4S/(a+b+c) = (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/4S,
辺々引く。

>>7
(a+b-c)(b+c-a)=bb-(c-a)^2≦bb,
循環的に掛けて平方根とる。
等号成立から a=b=c.

>>8
(a+b)(b+c)(c+a)-8abc=a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2≧0,
等号成立から a=b=c.
prime_132 さん 2016/11/21 10:18:35 報告