すうじあむ

の時、、
微分して、これは2<x<8において正だから、2<x<8において常に
よって

以上より

だから、2に収束する　■

なんか途中ごまかしているような気もしますが…どうでしょう

そういえば問題の1行目、だと思います。

> ①と②の交点のx座標の値に近づくことを図より説明し

近づくこと、さらには限りなく近づくこと（いくらでも近づくこと）はどのように説明するのでしょうか？そこに成否がかかっている。（もちろん高校数学だからあまりうるさいことは言わないにしても）

例えば口頭試問で追及されたらどう答えるかです。

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追記
定性的な議論でもいいんだけど、例えばグラフを描いて「 との距離は毎回半分以下になるじゃん」みたいなことが見えればしめたもので、 とおくと：
　　　
つまり半分どころか 1/5 未満になる。つまり とおくと：
　　　
で、これなら上から押さえられる。

じゃあぴったり 1/5 になるのはどういうときかというと、 の における接線の傾きが 1/5 で、これを楔の片割れとした場合、というようにいろいろなことが見えてきます。

ミルキーウェイさん
コメントありがとうございます。

＞・・・これは2<x<8において正だから・・・
そうでしょうか?

また、
「定理　数列が単調減少で、下に有界であるならば,この数列は有限な極限をもつ。」も高校では一般に扱わないと思いますがどうでしょう？。


平賀先生
＞近づくこと、さらには限りなく近づくこと（いくらでも近づくこと）はどのように説明するのでしょうか？そこに成否がかかっている。

普通の高校生の答えを予想
８－＞28/11－＞128/61・・・と①と②のグラフを使い
点（２,２）まで近づいていくので極限は２となる。・・・＊

口頭試問では、このような解答では評価されない。
と漸化式より

したがって、
ここで、nー＞∞　とすると右辺ー＞0
はさみうちの原理から したがって、
この程度の説明なら評価されるでしょうか?

＊のような解答の生徒から聞こえる声。

だって、1/5,1/25,1/125,分母がどんどん大きくなるから0にどんどん近づいて行って極限が0になるのでは？
グラフの説明と同じじゃない？
＞＞近づくこと、さらには限りなく近づくこと（いくらでも近づくこと）はどのように説明するのでしょうか？
と切り替えされそうですが、この場合はε-δでの説明まで行くことになりますか?

平賀先生　すいません。書きかけで用事のため先生のコメントを見ずにいま　　　　　した。
でなくとして考えるべきでした。
　　　　広くとっておけばよいと軽く考えていました。

>クロニャンコさん
すみません全然違いました。
言われればすごく変なのに気づいてなかったです…

正しくはが常に負だから…ですね、多分。

それでどうやったら→∞になるかですよね…
だから常に、
そしてとなるのがxが2の時だから…で言えませんかね。

この説明のためにグラフを書いてその交点（接点）に至る…と僕は答案に書きたいです。「グラフより」とまではいかないにしろ少しグラフ頼みですが。

クロニャンコさん：

＞ ＊のような解答の生徒から聞こえる声。
＞　　
＞ だって、1/5,1/25,1/125,分母がどんどん大きくなるから0にどんどん近づいて行って極限が0になるのでは？
＞ グラフの説明と同じじゃない？

ハハハ。これ、いいね。厳しいね。そう言われたらどうしましょうね。
正直、私もどうしたものやらよくわからない。あまり厳密さを追求しすぎるとεδ論法とかに行き着いちゃうだろうし。

つまるところ、高校数学だと
　「 は教科書に書いてあるからいいけど はダメ」
といったことに帰着しちゃいそう。そこまで露骨に言うかはともかくとして。

もっともεδ論法にしたところで「（大学の）教科書にそう書いてあるから」になっちゃいそうではあるけど。そこにいたる経緯とか必要性まで含めて理解してほしんですけどね。

平賀先生：ありがとうございます。

＞つまるところ、高校数学だと・・・

教科書で認められた形式で解答を書くことが無難ということですね。
＊でなぜだめと考える生徒、結構多いんです。

２つばかり。

まず一般に「グラフにより XXX」といった論法で、一番問題になるのはそもそもそのグラフ自体をどのように描いたかです。
例えば本問にしても、 と とが を交点とすること、 で であり、 は単調増加であるといった事項を確認しておかないと、「正しい」グラフは描けません。

ところがそういった「確認事項」を精密にしていけばいくほど、そこからの論証だけで結果が得られてしまいそう。つまりグラフ自体が不要になります。もちろん論証の上では、ということで、直観的理解などには役立つでしょうが。

それを履き違えて、いいかげんなグラフを描いて間違った結論を導いたり、結論は正しくても論証がおかしかったりといった学生はたくさんいます。循環論法になる、つまりグラフを描く仮定や前提を結論として導く、といったものもありますね。これらは苦し紛れに「グラフより XXX」としているのであり、だからそういう答案を見ると警戒するし採点も厄介になります。

もっとも本問の場合はもう少しレベルが上の話で、十分に正しいグラフが描けたとして、そこで「ジグザグ論法」が成り立つかがポイントではあります。

次に：
＞教科書で認められた形式で解答を書くことが無難ということですね。

これだとちょっと身もふたもないかな。議論が折り合いがつかなくなったら最終的な論拠は教科書になる（しかない）ということです。折り合いがつく、相手を説得できるなら、そんなに厳密な話としなくてもいいとは思っています（高校数学なんだから）。

それに教科書といっても、例えば積分で２次式の 1/6 公式とかバウムクーヘン分割とか、あるいは行列のケイリー・ハミルトンの定理（の２次版）とかは最初は教科書にはないのが入試問題や受験産業を通じて普及し、証明なしに使っていいかの喧々諤々の議論がされているうちに、当の教科書（さらには指導要領）に掲載されたりする。その意味では相対的な話です。

クロニャンコさんの書いている「下に有界な単調減少列は収束する」にしても、教科書に載ったら大手を振って使えるし（これ自体は正しいんだから）。
これが教科書に載らないのは、高校数学だと極限が存在するなら極限値も求められる（はず）といったことが暗黙の前提だから、かしらん。

平賀先生：
解り易い、説明ありがとうございました。