方針を教えてください

33846 さん

  • 公開日時: 2015/05/16 09:34
  • 閲覧数: 2070
  • コメント数: 3
  • カテゴリ: 入試・教育
x,yは0以上の実数。a,bは定数のとき f(x,y)=|x+y-a|+|xy-b|の最小値を求めよ。という問題です。 x+y=s,xy=tとおくと 条件から s≧0 と 0≦t≦(s^2)/4 までは考えたのですが。

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1
少しきつい言い方になりますが、そこに留まっているなら単に知っている公式を当てはめただけですね。
   [式:…]
としてみた上でどうしようというのでしょうか?問題にどういった特徴があるか、どのような方法で解を組み立てていくか、とりわけパラメタの [式:…] をどう扱うかなどを考えていかなければ。もっともだからこその質問でしょうが。

もちろん、解の方針をしっかり立ててそれに沿って進めていけるならそれに越したことはないのですが、見通しが立たない場合でも、場合分けをしてみる、[式:…] の値を当てはめた具体例を考えてみるなど、いろいろ試行錯誤、ジタバタしてみることも大事です。

=========
私自身が問題をみてすぐの印象を記してみると。

・まず、[式:…] の値で場合分けしなければならなそう。
 そこで [式:…] 平面を図示することも必要そう。
 (こういう問題は好きではないなあ、とこの時点で引き気味)

・絶対値の項は、中身が [式:…] になるときに最小値 [式:…] をとり、他の場合は正。
 今の場合、[式:…] になってくれれば
 [式:…] の最小値は [式:…] に決まり。
 そうなるには [式:…] がどういう値であればいいかを考える。
・そうでない場合でもいずれかが [式:…] になる場合は恐らく手がかりになる。

・一般的には絶対値をはずすことを考える。
・その際、([式:…] を踏まえれば)
 [式:…] が両方とも [式:…] 以下ならそのまま絶対値がはずせて:
   [式:…]
 これは [式:…] のとき最小値 [式:…] をとることは明らか。
 これで [式:…] 平面の 1/4(まあ、第3象限)は片付いた。
[式:…][式:…] の場合、絶対値をはずす際に場合分けが必要になる。
[式:…] の特殊なケース、例えば一方が [式:…] とか、[式:…] とかの場合が
 効いてくるのではないか?

と、こういった調子です。
あとはそういった考察を踏まえながら進めていくわけですが、問題自体、かなりタフですね。いくつかのハードルを越える必要がありそうです。特に場合分けをおっくうがらないことですね。

せっかく [式:…] を導入するなら、[式:…] が一定、[式:…] が一定というのが [式:…] 平面上でどういう状況に対応するか、それが [式:…] の増減とどう関わるかから考えていくといいでしょう。それを進めていけば見通しが立ってくるはずです。
平賀 譲 さん 2015/05/18 03:49:52 報告
2
私からも少し...以下,簡単の為,実数 [式:…] に対して
 [式:…] における
 [式:…] の最小値
を考えます.

・図による直観的な方法
[式:…] が表す正方形または一点集合と [式:…] とに共有点があるような [式:…] の最小値を求める.[式:…] のときは直ちに [式:…],その他のときは,正方形が [式:…] の境界に触れながら動く様子より,最小値を与える点は
 [式:…][式:…][式:…][式:…]
の何れかなので,各点が最小値を与えるような点 [式:…] の範囲を図から読み取り,[式:…][式:…] が共に最小値を与える場合は荒い計算も用いて,場合分けの条件(前者も併せて5通り)を得る.

・変数を固定する方法(普通の数学の方法.計算機にも通じます.)
[式:…] を固定,[式:…] の関数と見た場合の最小値は,[式:…] と区間 [式:…] との関係で場合を分けると,[式:…] のとき
 [式:…]
[式:…] のとき
 [式:…][式:…]
なので,前者なら容易,後者でも [式:…] のときは直ちに [式:…],その他のときは,放物線の対称性より [式:…]
 [式:…][式:…]
との大小関係が場合分けの条件となる.
honda さん 2015/05/18 11:01:10 報告
3
平賀先生へ
質問そのものがぶっきらぼうになってすいませんでした。
|s-a|+|t-b|をそれぞれの座標の距離と考えて,
和が最短になるので,t=(s^2)/4上になるときが最短であると考え
|s-a|+|(s^2)/4-b|の最小値を考える。
という方向性で手を付けてみたのですが
うまくまとまらなかったのでどうか?と聞きたかったのですが後半がかけずにすいませんでした。
33846 さん 2015/05/19 11:29:52 報告