ネットを徘徊していて見つけた奇怪な不等式

  • 公開日時: 2015/10/03 16:57
  • 閲覧数: 4017
  • コメント数: 11
  • カテゴリ: 研究・考察

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2
素晴らしい証明ですね。
有難うございます。
アンドロメダ さん 2016/09/01 01:00:01 報告
3
思ったのですが、[2],[3]を組み合わせると[式:…]となることがわかるので、これを使って各項を評価すれば
与式 [式:…]となりますね。

[式:…]はもっと綺麗に示す方法があるようで、以下に書き留めておきます。ツイッターで教えてもらいました。
[式:…]を指数関数として、無限乗積展開より
[式:…]
[式:…]
[式:…]

ところで、僕はツイッターで不等式の問題をつぶやくbot(あらかじめ登録してある文を定期的に投稿するアカウント)を動かしているのですが、そこにこの問題を転載したいと思いました。
問題のソースの表記は、「すうじあむ 2015年 ○○月○○日○○:○○ アンドロメダさんの投稿より」などにしようと思っております。「アカウント名や投稿日時の記載なし」などの条件もコメントいただければと思います。
この不思議な不等式をぜひいろいろな人に広めたいと思いコメントさせていただきました。ご検討よろしくお願いします(転載NGの場合でも遠慮なくコメントくださいね!)
じゅー さん 2016/09/01 04:28:18 報告
4
そんな綺麗なことになるんですね。
驚きました。

どのような形で転載していただいてもかまわないです。
そもそも他の数学質問掲示板で回答が付かないままになっていたものなので…。
(どこの掲示板だったか失念してしまいました…)
アンドロメダ さん 2016/09/01 20:31:00 報告
5
ありがとうございます。ご好意に感謝します。

ところで、この式の左辺の値の上限は[式:…]であることが示せます。ぜひ考えてみてください。
ヒントは、左辺の各項が$m$についての増加関数であることを示したのち、次の極限に関する命題を使います(高校範囲では示せない事実でしょう、いわゆるε論法の演習問題として丁度良いかと思います):
[式:…]を自然数から自然数への広義単調増加な関数で、[式:…]のとき[式:…]であるとする。
非負実数[式:…]は、任意の[式:…]に対し[式:…]を満たし、[式:…]であるとする。
級数[式:…]が収束するとき、
 [式:…]
となる。


じゅー さん 2016/09/02 13:25:18 報告
6
さらなる情報を有難うございます。
大学初年級レベルの解析学(微分積分学)でも知らないことが多いものだと痛感します…。
アンドロメダ さん 2016/09/03 10:27:15 報告
7
>>3
[式:…] はもっと簡単に示す方法があるようで、以下に書き留めておきます。ツィッターで教えてもらいますた。(綺麗にやらねば...)

[式:…]

>>6
同感です。
prime_132 さん 2016/11/26 13:41:54 報告
8
>>7
有り難うございます。
綺麗に出来るものですね。
アンドロメダ さん 2016/11/26 21:23:20 報告
9
[式:…] の増減でもいいですね.
honda さん 2016/11/26 21:45:21 報告
10
>>9
基本に立ち返ればよかったんですね。


私も無い知恵しぼって無理矢理ひねり出してみました。

[式:…] を自然数とすると、
  [式:…]
が成り立つ。

さて、[式:…] とすると、上の不等式で係数を比較して
[式:…]
が成り立つ。

おもむろに、[式:…] とおくと、
   [式:…]

さらに、[式:…] であるから、
   [式:…]
である。

以上より
   [式:…]
が成り立つことが分かった。

ここで [式:…] とおけば、[式:…]
   [式:…]
となる。
アンドロメダ さん 2016/11/27 13:31:23 報告
11
>>10

[式:…]

[式:…]

i.e. [式:…]
prime_132 さん 2016/11/27 15:31:46 報告
\documentclass[fleqn,12pt]{jsarticle} \setlength{\topmargin}{-2cm} \setlength{\mathindent}{3zw} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage{emathP} \begin{document} \shadowbox{証明募集} \\ $m$ を与えられた奇数とすると,$n \geq m^2$ をみたす任意の自然数 $n$ に対して \[ \Large{ \sum_{k=1}^{m-1} {\cos}^{\small{2n}} \left( \frac{2k{\pi}}{m} \right) \leq 4 e^{- \frac{n{\pi}^{2}}{m^{2}}} } \] が成り立つ. \end{document}