玉川大学の入試問題の質問

moumou さん

  • 公開日時: 2015/04/01 23:10
  • 閲覧数: 10258
  • コメント数: 20
  • カテゴリ: 入試・教育

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No メッセージ 投稿者 日時    
1
moumouさんの解答もきれいだと思いますが、
どうなんでしょう。
x=(1/2)sinθ+(1/4)cosθ--->x=(1/2)cosθ+(1/4)cos2θ

面白い問題を知ることができ、参考になりました。
質問の解答になっていなくてすみません。
クロニャンコ さん 2015/04/02 15:20:05 報告
2
問題のテーマを端的に言うと、「デルトイドは掛谷集合である」ということですね。
古くからある有名問題なので、よく知られた方法があるのかもしれませんが、
この誘導の仕方を見ると、moumouさんの方法を期待しているような…?
アンドロメダ さん 2015/04/02 15:39:17 報告
3
クロニャンコ様、アンドロメダ様
ありがとうございます。

クロニャンコ様の問題文のご指摘の通りです。
問題文を修正いたしました。

塾の生徒で受験した生徒がいたのですが、
この問題は全くできなかったとのことでした。
玉川大学のレベルを考えると、積和変換や和積変換はを駆使させるのは酷かな
と感じました。また,自分の解答だと(2)で「(x_k,y_k)が
接線上にあること」を用いていないので((3)で使いましたが)、
出題者はもっと良い解法を想定していたのでは?と思い,質問させていただいた次第です。
moumou さん 2015/04/02 17:31:45 報告
4
sin 1、sin 2、sin 3の大小比較は2012年の北見工業大学で出題されてます。(北見工業大学の入試問題はsin 1、sin 2、sin 3、sin 4を小さい順に並び替える問題です)
クロアチア さん 2015/04/02 22:01:21 報告
5
クロアチアさん、その北見工大の問題は、30年位前に、神奈川大か東京電機大にかつて出題されてますよ^^ どこで見たんだろう。

正高社の問題集かなあ。
近谷邦彦 さん 2015/04/02 22:43:34 報告
6
手元にある過去の問題集で探してみたら,
「大学入試8週間完成 文系数学問題の解き方(中堅校突破)」
代々木ゼミナール 木暮浩司著(三省堂 1986年初版)に載っていました。
(1) [式:…]とsin1の大小を比較せよ(理由を述べよ)
(2) sin2とsin3の大小を比較せよ(理由を述べよ)
(3) sin1,sin2,sin3,sin4を小さいものから順に並べよ。(神奈川大)
近谷先生の記憶通り30年ほど前の問題のようですが,はっきりとした出題年度は分かりませんでした。
この問題は三角関数の授業で,生徒がラジアンに慣れた頃にあえて出題します。
角度にπがつかず生徒が戸惑うため,ラジアンの定義の再確認としていい教材となっています。
のんぶ さん 2015/04/04 08:40:37 報告
7
神奈川大は、1981年です。学部は,経済学部です。
現行課程・青チャート数学ⅡB・P.211には,摂南大出題の問題で掲載されています。
現行課程・数学ⅡBスタンダード(数研出版)294にもあります。
JUN さん 2015/04/04 10:23:37 報告
8
のんぶさん、JUNさんありがとうございます。

近谷邦彦 さん 2015/04/04 12:00:57 報告
9
簡単の為,[式:…][式:…] にします.和積公式から

[式:…],

[式:…],

[式:…],

[式:…]

なので,[式:…] で括った残りの部分について,加法公式から

 [式:…]
[式:…]

[式:…]

[式:…]

[式:…]
honda さん 2015/04/04 16:04:38 報告
10
すみません,その問題の現物(問題全体)は手に入りますか?
最近は送ってくるのが遅いのです,
安田 亨 さん 2015/04/04 16:47:36 報告
11
近谷邦彦さん、のんぶさん、JUNさん

有難うございます。
クロアチア さん 2015/04/04 17:15:55 報告
12
なんか「すごくムリをしている問題」という印象です。
曲線の形状とか周期性とかに全く言及せずに計算ですか。そういったことは図から読み取れ、あるいは図に示してあるといったことなのかな。

注: 以下では [式:…] とし、添え字も適宜つけます([式:…] 等)。

(2) は問題としてよくない。
「接線と曲線の交点」なんてするからいけないんで、moumouさんも書いているように接線の方程式
   [式:…]
はすぐ見えるから、何を聞かれているんだかわからなくなってしまう。
証明問題になっているからまだしもとはいえ、これが「右辺をできるだけ簡単な形で表せ」みたいな問題だったら大半は [式:…] と答えるのでは。
本問は要するに、曲線上の点を通り、傾き [式:…] の直線の方程式を聞いているだけ。

目標である「長さ1の棒の回転」にしても、そもそもこれ自体は書いてあるだけで解答には影響しない。また問題からだけでは論証として不十分のように思う。それにこの目標を示す手順・方策としてはスムーズとは言えない。

===============
で、「もっとすっきりした解法があるか」ですが、あるとしても、さらにはうまい解法であればあるほど、出題意図からは離れてしまうでしょうね。

(2) を直接計算する場合(すでに hondaさんのコメントもありますが)、結果を見据えて、半角・倍角公式等を適用することにより:
  [式:…]
    [式:…]
  [式:…]
    [式:…]
といった変形を最初にしておく。添え字の [式:…] はうっとうしいだけなので省略して:
   [式:…]
   [式:…]
したがって左辺は:
   [式:…]
    [式:…]
ぐらいはすんなり出る。さらにこのまま計算を続けるよりは、今度は右辺:
   [式:…]
のほうを展開・変形して上に等しいことを示すほうが簡単そう。これなら積和・和積に立ち入らずに済むでしょう。

==============
問題の目標をすっきり求める、とりわけ (2) を使わないような方法はあるか?
どうでしょうね。
まず曲線が周期 [式:…] の周期関数で表される閉曲線であり、さらに:
   [式:…]
だから3回対称で概形もわかる。

あとはどうするのかなあ、
曲線上の点を [式:…] とするとき、[式:…][式:…] との関係が中核なので:

(1) 線分 [式:…] の長さを求めよ。
(2) その線分上の1点で曲線と接することを示せ。

といったように逆向きの問題にするのかしらん。
平賀 譲 さん 2015/04/04 23:50:22 報告
13
> 1点
やはり [式:…] と指定しておかないと難しいような...
honda さん 2015/04/05 10:51:05 報告
14
>> 13

線分 [式:…] の方向ベクトルは [式:…]、原問 (1) より [式:…] での接線の方向ベクトルは [式:…](この原問 (1) を小問に加えてもいい)。
両者が一致し、また[式:…] が線分上にあることを言えばよい。こうなっちゃうと単なる計算問題?
線分が曲線内に含まれるとか、共有点が接点以外にないことなどは図からの直観的判断でごまかす(ちゃんと示すのでもいいけど)。
平賀 譲 さん 2015/04/05 18:16:14 報告
15
> この原問 (1) を小問に加えてもいい

なら良いのですが,元の(2)で立ち止まる生徒さんが元の(1)のような半角(or2倍角)へのヒントなしに接線の方向ベクトルをシンプリファイできるとは思えなかったもので..
honda さん 2015/04/05 19:23:06 報告
16
>>安田先生
入試問題の現物(2月2日,3日,6日の3日程分)が手元にあります。
如何致しましょうか?

>>平賀先生、honda先生
 ありがとうございます。勉強になります。

>>平賀先生
 原題の図には2円と曲線の概形と接線が描かれています。
moumou さん 2015/04/05 21:16:48 報告
17
sin 1, sin 2, sin 3 の問題では [式:…] は前提としているのでしょうか?
平賀 譲 さん 2015/04/05 22:29:03 報告
18
moumouさん

umya_1@yahoo.co.jp
へメールをいただけますでしょうか?
よろしくお願いいたします
pdfの添付またはコピーの郵送をお願いできますでしょうか?

安田亨
安田 亨 さん 2015/04/05 22:56:16 報告
19
>>平賀先生
 問題文は
 「次の不等式が成り立つように1,2,3を一つずつ入れると
sin□ < sin□ < sin□
である.ただし,角の大きさはラジアンで表す.」
 でした。

>>安田先生
 承知いたしました。
 PDF化のため少々お待ちください。

moumou さん 2015/04/06 13:10:10 報告
20
>>19

sin 1, 2, 3 問題について。
穴埋め式ならどうにでも解けるでしょうが、きちんとした論証を書く場合、条件をどこまで緩くとれるかを考えるのは面白いかも。

[式:…] については
[式:…] で単調増加(値は不要)
[式:…] について対称、つまり [式:…]

ぐらいは必要か。あと [式:…] について:
   [式:…](内接正六角形と外接正方形)
であれば十分?
若干トリッキーなところはありますが。
平賀 譲 さん 2015/04/08 17:17:19 報告
\small{玉川大学の問題について質問です。\\ 次の問題の(2)についてですが、解けたのは解けたのですが、積和・和積変換を駆使した感じで, 行き当たりばったり感は否めません。\\ もっとシンプルですっきりとした解法があるのではないかと思い、質問させていただきました。\\ ご教授いただけると助かります。\\ (今年度の玉川大学(2月3日)の入試問題はこのほかにも\\  ・$\sin 1,\ \sin 2,\ \sin 3$の大小比較\\  ・3次方程式のカルダノの解法\\  等、大学のレベルに反し(失礼!)意欲的で興味深い問題が多かったです。)\\ 最近,ルーローの三角形の形をした掃除機のTVCMが流れているのもタイムリー?\\ \\ \fbox{\begin{tabular}{l} 問題3\\ 媒介変数表示された曲線\\[2mm]  $\displaystyle x=\frac{1}{2}\cos\theta+\frac{1}{4}\cos2\theta$,\ $\displaystyle y=\frac{1}{2}\sin\theta-\frac{1}{4}\sin2\theta$\\[2mm] を内サイクロイドという$\left(これは大きい円\left(半径\displaystyle \frac{3}{4}\right)に内接しながら小さい円 \left(半径\displaystyle \frac{1}{4}\right)が滑らずに\right.$\\ $\left. に回転するときの小さい円の円周上の定点の軌跡である. \right)$. \\ このとき,この曲線の中で長さ1の棒が回転できることを確かめるため,次の問いに答えよ.\\[2mm] (1)\ 曲線上の点\\    $\displaystyle x_0=\frac{1}{2}\cos\theta_0+\frac{1}{4}\cos 2\theta_0$, $\displaystyle y_0=\frac{1}{2}\sin\theta_0-\frac{1}{4}\sin 2\theta_0$\\  における接線の傾きが$\displaystyle -\tan\frac{\theta_0}{2}$であることを示せ.\\[2mm] (2)\ $\displaystyle 0<\theta_0<\frac{2}{3}\pi$とする.(1)の接線と曲線の交点を\\[2mm]    $\displaystyle x_k=\frac{1}{2}\cos\theta_k+\frac{1}{4}\cos2\theta_k$, $\displaystyle y_k=\frac{1}{2}\sin\theta_k-\frac{1}{4}\sin2\theta_k$ (k=1,\ 2)\\[2mm]  とするとき$\left(ただし,\displaystyle\frac{2}{3}\pi<\theta_1<\frac{4}{3}\pi<\theta_2<2\pi とする\right)$,\\[2mm]    $\displaystyle (x_k-x_0)\sin\frac{\theta_0}{2}+(y_k-y_0)\cos\frac{\theta_0}{2} =\sin^2\frac{\theta_k-\theta_0}{2}\sin\left(\theta_k+\frac{\theta_0}{2}\right)$\\[2mm]  が成り立つことを示せ.\\[2mm] (3)\ $\displaystyle \theta_1=\pi-\frac{\theta_0}{2}$,$\displaystyle \theta_2=2\pi-\frac{\theta_0}{2}$を示せ.\\[2mm] (4)\ $x_1-x_2=\cos\theta_1$,$y_1-y_2=\sin\theta_1$を示せ.\\ 図は省略してあります. \end{tabular}} \newpage 自身の解答です\\ \\ (1) $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{\left(\frac{dy}{d\theta}\right)}{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)}=\frac{\sin\frac{3}{2}\theta\sin\frac{\theta}{2}} {-\sin\frac{3}{2}\theta\cos\frac{\theta}{2}} =-\frac{\sin\frac{\theta}{2}}{\cos\frac{\theta}{2}}=-\tan\frac{\theta}{2}$ \medskip    $\displaystyle\theta=\theta_0$に対応する点$(x_0,\ y_0)$における接線の傾きは, \smallskip    $\displaystyle\frac{dy}{dx}=-\tan\frac{\theta_0}{2}$ ・・・・・・(ア)\\ \medskip \noindent(2)\   $\displaystyle (x_k-x_0)\sin\frac{\theta_0}{2}+(y_k-y_0)\cos\frac{\theta}{2}$ \medskip   $\displaystyle=\left\{ \left(\frac{1}{2}\cos\theta_k+\frac{1}{4}\cos2\theta_k\right) -\left(\frac{1}{2}\cos\theta_0+\frac{1}{4}\cos2\theta_0\right)\right\}\sin\frac{\theta_0}{2}$\\ \hfill $\displaystyle +\left\{ \left(\frac{1}{2}\sin\theta_k-\frac{1}{4}\sin2\theta_k\right) -\left(\frac{1}{2}\sin\theta_0-\frac{1}{4}\sin2\theta_0\right)\right\}\cos\frac{\theta_0}{2}$ \medskip   $\displaystyle=\frac{1}{2}\left(\sin\theta_k\cos\frac{\theta_0}{2}+\cos\theta_k\sin\frac{\theta_0}{2}\right) -\frac{1}{4}\left(\sin2\theta_k\cos\frac{\theta_0}{2}-\cos2\theta_k\sin\frac{\theta_0}{2}\right)$\\ \hfill$\displaystyle-\frac{1}{2}\left(\sin\theta_0\cos\frac{\theta_0}{2}+\cos\theta_0\sin\frac{\theta_0}{2}\right) +\frac{1}{4}\left(\sin2\theta_0\cos\frac{\theta_0}{2}-\cos2\theta_0\sin\frac{\theta_0}{2}\right)$ \medskip   $\displaystyle=\frac{1}{2}\sin\left(\theta_k+\frac{\theta_0}{2}\right)-\frac{1}{4}\sin\left(2\theta_k-\frac{\theta_0}{2}\right) -\frac{1}{2}\sin\frac{3}{2}\theta_0+\frac{1}{4}\sin\frac{3}{2}\theta_0$   (加法定理より) \medskip   $\displaystyle=\frac{1}{2}\left\{\sin\left(\theta_k+\frac{\theta_0}{2}\right)-\sin\frac{3}{2}\theta_0\right\} -\frac{1}{4}\left\{\sin\left(2\theta_k-\frac{\theta_0}{2}\right)-\sin\frac{3}{2}\theta_0\right\}$ \medskip   $\displaystyle=\sin\frac{\theta_k-\theta_0}{2}\cos\left(\frac{\theta_k}{2}+\theta_0\right) -\frac{1}{2}\sin(\theta_k-\theta_0)\cos\left(\theta_k+\frac{\theta_0}{2}\right)$    (和積変換より) \medskip   $\displaystyle=\sin\frac{\theta_k-\theta_0}{2}\cos\left(\frac{\theta_k}{2}+\theta_0\right) -\frac{1}{2}\sin\left(2\cdot\frac{\theta_k-\theta_0}{2}\right)\cos\left(\theta_k+\frac{\theta_0}{2}\right)$ \medskip   $\displaystyle=\sin\frac{\theta_k-\theta_0}{2}\cos\left(\frac{\theta_k}{2}+\theta_0\right) -\sin\frac{\theta_k-\theta_0}{2}\cos\frac{\theta_k-\theta_0}{2}\cdot \cos\left(\theta_k+\frac{\theta_0}{2}\right)$  (2倍角の公式より) \medskip   $\displaystyle=\sin\frac{\theta_k-\theta_0}{2}\left\{ \cos\left(\frac{\theta_k}{2}+\theta_0\right) -\cos\frac{\theta_k-\theta_0}{2}\cos\left(\theta_k+\frac{\theta_0}{2}\right)\right\}$ \medskip   $\displaystyle=\sin\frac{\theta_k-\theta_0}{2}\left\{ \cos\left(\frac{\theta_k}{2}+\theta_0\right) -\frac{1}{2}\left(\cos\frac{3}{2}\theta_k+\cos\left(\frac{\theta_k}{2}+\theta_0\right)\right)\right\}$     (積和変換より) \medskip   $\displaystyle=\sin\frac{\theta_k-\theta_0}{2}\cdot\frac{1}{2}\left\{ \cos\left(\frac{\theta_k}{2}-\theta_0\right)-\cos\frac{3}{2}\theta_k\right\}$ \medskip   $\displaystyle=\sin\frac{\theta_k-\theta_0}{2}\cdot \sin\frac{\theta_k-\theta_0}{2}\sin\left(\theta_k+\frac{\theta_0}{2}\right)$ \medskip   $\displaystyle=\sin^2\frac{\theta_k-\theta_0}{2}\sin\left(\theta_k+\frac{\theta_0}{2}\right)$ \medskip よって示された.\\ \medskip \noindent(3)\ (ア)より \smallskip    $\displaystyle\frac{y_k-y_0}{x_k-x_0}=-\tan\frac{\theta_0}{2}$ \smallskip    $\displaystyle\frac{y_k-y_0}{x_k-x_0}=-\frac{\sin\frac{\theta_0}{2}}{\cos\frac{\theta_0}{2}}$ \medskip    $\displaystyle(x_k-x_0)\sin\frac{\theta_0}{2}+(y_k-y_0)\cos\frac{\theta_0}{2}=0$ \medskip (2)の結果とあわせて \medskip    $\displaystyle\sin^2\frac{\theta_k-\theta_0}{2}\sin\left(\theta_k+\frac{\theta_0}{2}\right)=0$ \medskip $\displaystyle0<\theta_0<\frac{2}{3}\pi<\theta_1<\frac{4}{3}\pi<\theta_2<2\pi$に注意して,これを解くと \medskip    $\displaystyle\theta_1+\frac{\theta_0}{2}=\pi$,$\theta_2+\frac{\theta_0}{2}=2\pi$ \medskip   ∴\ $\displaystyle\theta_1=\pi-\frac{\theta_0}{2},\ \theta_2=2\pi-\frac{\theta_0}{2}$\\ \medskip 以下略.