2015年 東大(理)2番

  • 公開日時: 2015/03/01 20:18
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  • コメント数: 4
  • カテゴリ: 入試・教育

2番 確率 (昨年も2番に確率)

    AA  B   C   D  

確率 1/2 1/6  1/6  1/6

n番目の文字が A(左) A(右) A以外 の確率を それぞれ[式:…]とする。

   [式:…]・・・・① 

(ア) n+1番目にA(左)の文字となるのは、n番目にA(右)またはA以外の文字のとき

     したがって、 [式:…]・・・・②

(イ)  n+1番目にA(右)の文字となるのは、n番目にA(左)の文字のとき

    したがって、[式:…]  ・・・・③

(ウ) n+1番目にA以外の文字となるのは、n番目にA(右)またはA以外の文字のとき

    したがって、[式:…]・・・・④

①と②から

      [式:…]

  式を変形して

      [式:…]

   ゆえに、[式:…]

②より[式:…]のとき

    [式:…]

   これは、n=1のときも成立。

求める確率は、[式:…]

 (2)n-1番目の文字がAとなりn番目の文字がBとなるのは、

   n-1番目の文字がA(右)だからその確率は、[式:…]である。

  したがって、

   求める確率は、[式:…]

  上記のように考えたら、(2)はすぐ終わりました。

(予備校解答のようにスマートではないかもしれませんが、このような答案もあるかも?)

ついでに感想

第1問 通過領域 確保したい問題(標準)

第2問 問題ルールを理解し、漸化式におけるか? 得意不得意で差が出る?

     ルールが見いだせず、焦るかも? (難問)

第3問 回転体の体積 オーソドックスな標準問題。計算ミスをしないで確保したい。

第4問 数列(3項間)帰納法利用。(1)、(2)は確保。(3)も落ち着けばできる。

     フィボナッチ 何か奥があるのでしょうか(有名な)?

第5問 整数問題。予備校の評価は、標準より上のようですが、新課程の生徒は

     整数について授業を多くしている。差がつくとは思いますが、どうでしょう。

    今年ある大学入試懇談会が楽しみです。

第6問 (1)は確保したい。積分区間、関数の定義が読み取れれば、できる。

     (2)[式:…]に気づけるかどうか?

       部分積分

     他の問題に比べて難問。制限時間もありますし。

以上、個人的な感想です。

     

 

 

 

   

  

  

   

 

 

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No メッセージ 投稿者 日時    
1
難しい問題ですね。

第 1 問

通過領域 これは, 取りたい。

包絡線や偏微分の解法は, 特に必要としません。

第 2 問

実験して, 規則性が発見できるかどうかでしょう。それでも, 試験場では難しいですね。

第 3 問

これは, とりたい。

第 4 問

(1), (2)まではとりたい。

第 5 問

個人的には, 2015を2進法表記して考えましたが, これは受験生には無理ですね。。

Kummerの定理が関連するのかなあ。

第 6 問

(1) がとれれば, 十分でしょう。

ところで, 第 4 問 の数列, 前半の漸化式, Fibonacci数列と類似したLucas数列と問題を見たとき, 思ってしまいました。残念ながら, 第2項が3ではなかったみたいです。このLucasさんは, 第 5 問の整数にも定理として関連しているようです。

http://math.mit.edu/~rstan/781/lucas.pdf

近谷邦彦 さん 2015/03/01 21:24:59 報告
2
近谷さん:
感想ありがとうございます。

私の周りの現役生には2進法で考える人はいなかった。?
名大の確率でも、樹形図を多くのところまで書いたように?
[式:…]
以下順番に考えていき
[式:…]
から[式:…]となるmを見つければ、そのm
が求める値。
[式:…]
よって、m=32

途中の説明をどの程度書いたかわかりませんが。
クロニャンコ さん 2015/03/01 22:09:23 報告
3
今年も時間を計って解いてみました.
1,3,4,6は,経験もあって,まあ解けたのですが…

2番
最初で場合分けして考えたのですが,初めにAAが並んだあと,
「n-1回の試行で,左からn-2番目がAになる確率」
が,“左からn-2番目までの文字は,最初のn-2回の試行だけで決まる”ために
「n-2回の試行で,左からn-2番目がAになる確率」
に等しくなることに,ふつうに気付きませんでした.
自分の実力が大したことないのは重々承知しています…
が,このことに受験生が,試験本番で気づくのか?と疑問に思いました.
仮に東大受験生であったとしても,です.

4番
半ば反射的に[式:…]として,分子・分母が持つ2の個数を数えようとして…手詰まりに
時間終了後,考えを再度練り直したところ,クロニャンコさんのコメント2に書かれているような見方が出来ましたが…初めの一手,運次第?
8823 さん 2015/03/01 23:18:13 報告
4
8823さん:
感想ありがとうございます。
時間を計って解かれているとは、恐れ入ります。

>>初めの一手,運次第?

確かに時間制限がある入試では、どちらに
向かうか、戻る勇気があるかですよね。

お時間があれば、名大の理系の確率も面白いと思います。
クロニャンコ さん 2015/03/02 00:02:33 報告