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  • 公開日時: 2013/11/29 13:51
  • 閲覧数: 2307
  • コメント数: 18
  • カテゴリ: 入試・教育

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9
風呂に入っている時に思いつきました。
【解法13】解法2と同じかもしれませんが・・・
(hondaさんの解法11改訂版とも結果としては同じになってしまいますね・・・)
[式:…]

近谷先生へ
ここに出ていない解法を紹介してもらうことはできないでしょうか?
のんぶ さん 2013/12/01 18:54:49 報告
10
だんだん強引になってきました。

【解法14】[式:…]において,y=sinθ,y=cosθは上に凸
[式:…]における接線を考えると
[式:…][式:…]
辺々かけると,[式:…]

【解法15】[式:…]とおくと,[式:…]
[式:…]

【解法16】[式:…]において考える。
y=sinθ,y=cosθの交点のy座標は[式:…]であることから,[式:…]が成り立つ。
展開すると,[式:…]

【解法17】円[式:…]上の第1象限における点を(cosθ,sinθ)とおくと,(±cosθ,±sinθ)を頂点とする長方形の面積は4sinθcosθである。面積が最大になるのは,(厳密ではありませんが)はみ出し削り法により,正方形のとき
のんぶ さん 2013/12/01 23:46:19 報告
11
【解法18】わざわざ書くほどのことではないのですが・・・
[式:…]で考えて、[式:…]より[式:…]

【解法19】次は積分で!!
[式:…]より、
[式:…]
[式:…]のとき、[式:…]
[式:…]のとき、[式:…]であるので、
[式:…]で考えると、[式:…][式:…]のとき最大

そろそろネタ切れになってきました・・・
のんぶ さん 2013/12/02 11:21:21 報告
12
すばらしいですね。のんぶさん^^

あとは、のんぶさんが、面倒臭いので省略と言っていた解法を含めて、5つぐらい解法が増えるでしょうか。

残念ながら、これ以上は、言えん せん^^
近谷 邦彦 さん 2013/12/02 16:16:33 報告
13
>言えん せん^^ =「Jensen」ですね
絶妙なヒントありがとうございます。
【解法20】[式:…]とします。
[式:…]であるので、f(θ)は上に凸[式:…]
綺麗ですね!!

【解法21】以前書いていて面倒なので消したのは
[式:…]とおくと[式:…]

【解法22】実数解条件を使ってみます。
[式:…]とおくと、[式:…]であるので、
x+y=u,xy=vとおくと、[式:…]
更に実数解条件より、[式:…]
これらより、[式:…]

あと2つ・・・・・・・
のんぶ さん 2013/12/02 17:10:05 報告
14
【解法23】実数解条件の改良版
[式:…]とおく。[式:…]より,[式:…]を解とする2次方程式は[式:…]
実数解をもつので,[式:…]
よって,[式:…]であるので[式:…]
のんぶ さん 2013/12/02 23:15:07 報告
15
原点に戻って三角比、さらにピタゴラスの定理 [式:…] なら
   [式:…]
という定式化でしょう。実質的には【解法10】あたりと同じことではあるけど。
平賀 譲 さん 2013/12/02 23:21:07 報告
16
[式:…]と変形すると【解法9】と同じになります。
私もいろんな解法で書いたのですが,本質的なところでは同じことをやっているにすぎない感じもしています。でも,1つの問題でいろんな受験テクニックを試すことができ面白かったです。
のんぶ さん 2013/12/03 00:11:51 報告
17
のんぶさん, ありがとうございます。

一応, 私の解法を示します。もちろん、よく知られた解法も含まれてますが。
ほとんど, のんぶさんの解法と同じですが。

See here^^

http://suseum.jp/gq/question/2165

PS 解法23は, [式:…]なる実数解をもつ条件を求めることになるでしょうか^^
近谷 邦彦 さん 2013/12/03 02:20:38 報告
18
近谷先生ありがとうございます。今回はいろいろと勉強になりました。

>PS 解法23は, 0≦X≦1なる実数解をもつ条件を求めることになるでしょうか

普通は当然そうすべきだと思います。
でも面倒なのでとりあえず実数解条件で「必要条件」をおさえた後,
θ=π/4のとき,最大値としての1/2の存在がいえるので「十分」である
として解きました。

のんぶ さん 2013/12/03 06:30:59 報告
Find the maximum value of the function $f(\theta)=\sin \theta\cos \theta.$