外心の定義は何か?

  • 公開日時: 2013/11/14 10:01
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  • コメント数: 7
  • カテゴリ: 入試・教育

ある学校で教えたときに,三角形の外心というのは「垂直二等分線の交点だ」と教わっているというので,「糞教師だな」と思ったのですが,教科書にはそう書いてあってビックリしました.

これだと,三角形が空間に浮いたときには垂直二等分線がなくなってしまうし,多角形になったときには多くの辺の垂直二等分線の交点が,果たして一点で交わるかが心配になります.だから,定義としては,間違いです.外接球の中心をどう定義すればよいのか,拡張性のない定義です.

「空間になったときの心配なんかしなくていいだろう」という姿勢で教えていると,2011年京大理系6番に手も足も出ないという結果をもたらします.

 

英語wiki
では以下のようになっているので,「 which passes through all the vertices of the polygon」
だから,頂点を通るという方が正解ですね.
学校教育のねじ曲げが,外心でも行われていると言わざるを得ません.当面進めばいい,拡張や一般などどうでもいいという文部官僚と,御用学者の視野の狭さが問題と思います.

Circumscribed circle
From Wikipedia, the free encyclopedia


Circumscribed circle, C, and circumcenter, O, of a cyclic polygon, P
In geometry, the circumscribed circle or circumcircle of a polygon is a circle which passes through all the vertices of the polygon. The center of this circle is called thecircumcenter and its radius is called the circumradius.
A polygon which has a circumscribed circle is called a cyclic polygon (sometimes aconcyclic polygon, because the vertices are concyclic). All regular simple polygons,isosceles trapezoids, all triangles and all rectangles are cyclic.

A related notion is the one of a minimum bounding circle, which is the smallest circle that completely contains the polygon within it. Not every polygon has a circumscribed circle, as the vertices of a polygon do not need to all lie on a circle, but every polygon has a unique minimum bounding circle, which may be constructed by a linear time algorithm.[1]Even if a polygon has a circumscribed circle, it may not coincide with its minimum bounding circle; for example, for an obtuse triangle, the minimum bounding circle has the longest side as diameter and does not pass through the opposite vertex.

 

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No メッセージ 投稿者 日時    
1
要は流儀が複数ある場合に「何を採用の基準とするか」ということでしょう.
honda さん 2013/11/14 12:54:34 報告
2
流儀の違いというより,現代のスタイルに合わないという気がします.


原論は作図から入っているので,やむをえないという気はしますが,原論や教科書は,事実を証明し,それを持って定義としているので,あまり現代の数学的スタイルではないのではないかと思います.黎明期の不完全な形式というべきかと思います.

定義とはこう書くべきものではないでしょうか?
【外接円と外心の定義】
多角形Tのすべての頂点が周上にのる円が存在するとき,その円をTの外接円という.外接円の中心を外心という.
【定理1】
Tが三角形のとき,外接円は常に存在する.
【系】
Tが三角形のとき外心は3本ある辺の垂直二等分線の交点である.
【定理2】
Tが(凸)四角形のとき,外接円が存在するための必要十分条件は向かい合った2角の和が180度であることである.
安田 亨 さん 2013/11/14 16:40:32 報告
3
外心の定義として「各辺の垂直2等分線の交点」,「外接円の中心」のどちらを採用すべきかというのが投稿の趣旨と思ったのですが...
honda さん 2013/11/14 17:11:49 報告
4
すみません.書き方が悪くて.
内心もこれでいけますが,
重心の定義が,この方式では,いまいちです.
安田 亨 さん 2013/11/14 17:58:37 報告
5
どうも話がよく見えないのですが。

学校教育(中学?高校?)の場において、「三角形の性質」として、円の話などが出る前に導入するという文脈を考えれば差し支えないのでは?それに五心(まあ榜心は別として)を三角形の辺や角から述べるほうがむしろ統一感があり、相互の関係もわかるし。

拡張(適用範囲の拡大)は段階的に行っていくのでよい。数の体系を考えるのに最初から複素数を踏まえた導入をするわけではないし、図形の面積にしても、いきなりリーマン積分を持ち出す必要はない。それと同様に三角形以外の図形、ましてや空間図形への拡張などを最初から想定する必要はないのでは?

積分を逆微分として定義するのはけしからん、というのと同種の話に思えるけど、それよりは罪は軽いと思う。

そもそも外心という言葉を三角形の場合以外に使った記憶もないし、見かけもしないと思う。「長方形の外心(等脚台形の外心のほうがいいかな?)」とか「四面体の外心」なんて言い方、したことあります?

言葉としてなら、一番わかりにくいのは重心で、なまじ日常的に使用される言葉であるため、それとどうつながりがあるのかの見当がつかない。さりとて重心とは「1次モーメントが 0 になる点」とか「2次モーメントが最小になる点」(平面図形の場合の話:垂直に軸を立ててコマとして回せば安定して回る点)などと定義してみても始まらない。
平賀 譲 さん 2013/11/15 01:48:04 報告
6
I wrote:
≫それに五心(まあ榜心は別として)を三角形の辺や角から述べるほうがむしろ統一感があり、

半分チャチャですが:
・内心: 頂角の二等分線の交点
・重心: 頂点と対辺の中点を結ぶ線の交点
・垂心: 頂点から対辺への垂線の交点

・外心: 各辺の垂直二等分線の交点

こうして見ると他の3つは頂点が出てくるのに、外心だけ仲間はずれですね。
そこで「各頂点からの等距離点」とでもすれば仲間に入れる?
だけどさらに内心を「1辺を他2辺の比に内分する点と、対頂点を結ぶ線の交点」とすれば、3つは「頂点・対辺」の話になり、仲間はずれぶりがさらに際立つ。
平賀 譲 さん 2013/11/15 16:52:31 報告
7
私も、hondaさんと同意見です。
ところで、円、長方形の場合、中心と呼ぶことが多いのですが、三角形の場合、何故、中心と呼ばないのでしょうか。ここでいう、重心とは、質量重心のことですかね。 Guildin-Pupps に聞いてみようかな^^
近谷邦彦 さん 2013/11/16 15:07:52 報告