整数、数列、幾何

marimo さん

  • 公開日時: 2013/06/26 19:18
  • 閲覧数: 6612
  • コメント数: 12
  • カテゴリ: 入試・教育

第一問

{a(n)}をa(1)=3,a(n+1)=a(n)^2 −2によって定める。

このとき,任意の異なる自然数m, nに対して,a(m)とa(n)が互いに素な整数であることを示せ。

 

第二問

mは3以上の整数,αはcosα=1/m,(0<α<π/2) を満たす実数とする。

 (1) a(n)=m^ncos(nα)(n=1,2,3,···)とするとき,a(n)は整数であることを示せ。

 (2) α/πは無理数であることを示せ。

 

第三問

nを3以上の整数とする。

(1) k をnと互いに素な整数とするとき,n−kもnと互いに素な整数であることを示せ。

(2) 0と1の間にある分母をnとする既約分数の総和は整数であることを示せ。

 

第四問

方程式2^n+1=3^mを満たす自然数m, nについて考える。

(1) n≧2のとき,mは偶数であることを示せ。

 (2) (m, n)の組を全て求めよ。

 

第五問

{a(n)}は各項が0と1のいずれかから成る数列であるとする。

3/4=Σ(n=1~∞)a^n/2^nである{a(n)}を全て求めよ。

 

第六問

正の整数x,y,zは方程式3^x+4^y=5^z ······ (∗) を満たすものとする。

(1) xとzは共に偶数であることを示せ。

(2) (∗)を満たす正の整数の組(x,y,z)を全て求めよ。

 

第七問

(1) 数列の極限lim(n→∞)log(n!)/nを求めよ。

(2) 自然数nに対して,n!が素数pでちょうどm回割り切れるとき,m≦n/p−1であることを示せ。

(3) (1)と(2)を利用して,素数が無数にあることを示せ。

 

第八問

nを3以上の自然数とする。

(1) n!が素数pでちょうどm回割り切れるとき,m≦n/p+n/p(p−1) であることを示せ。

(2)Σ(k=2~n)logk/k(k−1)<5/2であることを示せ。

(3)n以下の素数pについてlogp/pの総和をS(n,p)と書くとき,S(n,p)>(logn)-7/2であることを示せ。

 

第九問

(1) 凸多角形Pの内部に円Cがあるとき,Pの周はCの周より長いことを示せ。

(2) 円Cの内部に凸多角形Qがあるとき,Cの周はQの周より長いことを示せ。

 

第十問

正の無理数α,βが1/α+1/β=1をみたすとき,任意の異なる自然数m,nに対して[mα]≠[nβ]であることを示せ。ただし、[x]はxを超えない最大の整数とする。

 

 

他の数学サイトなどで見つけた問題の数々です。なので、オリジナル問題だけでなく、有名問題や過去の入試問題も入っているかもしれません。その中でも大学入試程度レベルの知識で解けて、個人的に結構面白いなぁ、と思ったものを投稿してみました。もしよろしければ、皆さんもどうぞ。ここの方々にとっては、物足りないレベルかもしれませんが・・・。感想や様々な解法、背景、難易度が高いと思った問題、更に深い考察・・・など、何でも構わないので、皆さんのコメントお待ちしております。

 

 

 

 

 

 

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3
第10問は「レーリーの定理」についての記載がある下記のサイトが役に立ちそうです。
http://members.jcom.home.ne.jp/sansakuro/Thema/Htm/Them_099.htm
http://members.jcom.home.ne.jp/sansakuro/Thema/Htm/Them_100.htm
のんぶ さん 2013/06/27 02:29:24 報告
4
≫第10問は「レーリーの定理」についての記載がある......

ああ、そういう名前があるんですか。(近谷さんが書いた Beatty の定理とも言うらしいですね。)
紹介されたサイトでは何やら難しげな証明が書いてありますね。
もっとすんなりできると思うけど。(実質的には同じかもしれませんが。)

===================================
直線 [式:…] を考えます。
[式:…] は無理数なので、両直線は原点以外の格子点は通りません。
  # なお一般に [式:…] などとしてかまわないのですが、
  # 以下では表立っては使いません。
  # 以下は図を描いてもらえばわかりやすいと思います。

自然数 [式:…] を任意に選んで固定します。
[式:…] と両直線との交点の [式:…]座標を [式:…] とします:
    [式:…]  ([式:…] は無理数です)
ここで:
    [式:…]
なので [式:…] は整数です。

[式:…] の右隣の整数値を [式:…] とします。つまり:
    [式:…]
[式:…] とします([式:…] は無理数です)。[式:…] が整数なので:
    [式:…]、つまり [式:…]

ここで [式:…] を斜辺、[式:…] を直角の頂点とする直角三角形を考えると、縦の辺([式:…] 上の辺)の長さは [式:…] です。このとき [式:…][式:…] のどちらかです([式:…] は格子点を通らないので [式:…] の場合は起こらない)。
[式:…] についても同様の三角形を考えると、縦辺の長さは [式:…] です。

======
[式:…]、つまり [式:…] のとき
このとき [式:…] です。一方:
   [式:…]
なので [式:…]、つまり [式:…]

実はこれで(下記の注記と合わせて)原問が示せたことになります。

[式:…]、つまり [式:…] のとき
このとき [式:…] であり、一方:
   [式:…]
なので [式:…]

========
以上から「[式:…] の一方、そして一方だけが [式:…] に等しい」ことが言えました。

さらに [式:…] も踏まえると:
   [式:…]
はすぐわかりますし:
   [式:…]
   [式:…]
も明らかでしょう。したがって [式:…] はすべて互いに異なります。

以上より任意の自然数は [式:…] のいずれかでただ一通りに表せます。

追記
原問に直接解答するなら、背理法を使って [式:…] なら([式:…] なども踏まえて)上の記号で:
   [式:…]
でなければならないが、両不等式を項ごとに足して:
   [式:…]
で矛盾、あるいは
   [式:…]
だから [式:…] がともに整数であることに矛盾とするので十分です。

============
このような直線とその離散化(整数値に丸める等)は、ディジタル画像での直線の生成(Bresenham algorithm など)とも関連があります。
平賀 譲 さん 2013/06/27 18:22:33 報告
5
第1問を計算機で証明するなら,まず
prob01.an_odd: odd (a n)
prob01.an_am_gcd: m < n ⟹ ∃d. a n = d * a m - 2 ∨ a n = d * a m + 2
を帰納法で示して
prob01.an_am_coprime: m < n ⟹ coprime (a m) (a n)
といった感じです.
honda さん 2013/06/27 21:49:15 報告
6
以前,神戸薬科大で次のような問題が出ました。

a,bは2以上の互いに素である自然数で,a+b=nを満たし,
[式:…]
[式:…]とする。
a=5,b=4のとき,[式:…]を求めよ。

この問題は
[式:…]=∅,[式:…]={1,2,3,…,n-2}
を念頭に作られています。

ただし,
a,bは2以上の互いに素である自然数で,a+b=nを満たし,
[式:…]
[式:…]とするとき,
[式:…]が自然数全体の集合になるかというと,そうはいかないのが残念なところです。
のんぶ さん 2013/06/27 23:45:54 報告
7
多忙により、返信が遅れて申し訳ありません。まず多数の意見を頂き、ありがとうございます。

では、さっそくですが自分もそれぞれの問題に関して意見をいくつか述べてみたいと思います。

個人的には、第一問と第十問が特に難易度が高いのではないかと思います。

特に第十問は誘導なしでは、受験数学の枠を超えている(?)。すでにコメントでも出ているように、かつて慶応理工で、誘導つきの類題が出題されています。

第一問も、自分で補題を用意しなくてはいけないという点で、入試問題として出題するなら不適かもしれません。どちらかというと、数学オリンピックの予選で出題されるような問題といえるかもしれません。

その他の問題に関しては、最難関大(特に京大や東工大)が好むようなタイプの問題な気がします。特に、第二問、第七問、第八問は東工大対策、第四問、第五問、第六問、第九問は京大対策としても使えるかもしれません。実際に、第五問のような背景に二進小数が隠れているタイプの問題は、東大、京大、東工大などで、過去にも出題されています。また、第七問に関しては、素数の無限性の少し変わった証明をテーマにしているという点で、ユニークな問題です。

自分は、あくまでも数学好きの医大生であり、皆さんのように入試の実情に精通してるわけではないので、あくまでも自分が受験生時代に経験したことから、意見を述べているだけなので、間違いなどがありましたら、申し訳ありません。

p.s
誤解の生みやすい数式の書き方をしてしまって、申し訳ありません。
marimo さん 2013/08/15 11:33:23 報告
8
≫第一問も、自分で補題を用意しなくてはいけないという点で、入試問題として出題するなら不適かもしれません。どちらかというと、数学オリンピックの予選で出題されるような問題といえるかもしれません。

どういう解法を考えているのでしょうか?
問題としてはかなり直接的に思えますが(honda さんのコメント 5 も参照)。

===================
[式:…][式:…] の素因数とする。以下 [式:…] で考える。
   [式:…]
   [式:…]
以下同様に、
   [式:…]
したがって [式:…][式:…] を公約数に持つなら [式:…] でなければならないが、[式:…] はすべて奇数だからこれは不可能。

[式:…] が何であっても上は当てはまるから、[式:…] はすべて互いに素。

なおこれは回りくどいですが、素数が無限にある証明にもなっています。

========
ついでに:[式:…][式:…] にすると?
平賀 譲 さん 2013/08/20 01:53:11 報告
9
問6
[式:…]
の整数解を求めます。
まず mod24 で見て

x:奇数⇒3^x≡3
x:偶数⇒3^x≡9

y=1⇒2^y≡2
y=2⇒2^y≡4
y≧3,y:奇数⇒2^y≡8
y≧4,y:偶数⇒2^y≡16

z:奇数⇒5^z≡5
z:偶数⇒5^z≡1

なので与式を満たすためには
(1) x:奇数 , y=1 , z:奇数
(2) x,y,z が偶数で y≧4
じゃなきゃいけない。

(1) のとき。y=1 を入れて
3^x+2=5^z ⇔ 3^x-3=5^z-5
∴5|(3^(x-1) - 1) ⇒ x-1≡0 (mod4) (☆)
(∵3^t - 1 が 5 で割り切れるような最初の自然数 t は 4)
∴16|80=(3^4 - 1)|(3^(x-1) - 1)|(3^x - 3)=5^z - 5
なので 16|(5^(z-1)-1) ⇒ z-1≡0 (mod4) (★)
∴13|3・13・16=624=(5^4 - 1)|(5^(z-1) - 1)|(5^z-5)=3^x-3
なので 13|(3^(x-1)-1) ⇒ x-1≡0 (mod3)
(☆)より x-1≡0 (mod12)
フェルマーの小定理より 7|(3^6-1)
∴7|(3^6 - 1)|(3^12 - 1)|(3^(x-1) - 1)|(3^x - 3)=5^z - 5
なので 7|(5^(z-1)-1) ⇒ z-1≡0 (mod6)
(★)より z-1≡0 (mod12)
9|7・8・9・31=4・(1+5+25+125+625+3125)
=(5^6-1)|(5^12-1)|(5^(z-1)-1)|(5^z-5)=3^x-3
∴x=1 , 代入して 3+2=5^z⇒z=1
なのでこの場合は (x,y,z)=(1,1,1) のみ。

(2) のとき。x=2a , y=2(b+1) , z=2c (a,b,c:自然数) と置いて代入し
(3^a)^2+2^(2b+2)=(5^c)^2
2^(2b+2)=(5^c-3^a)(5^c+3^a)
5^c-3^a , 5^c+3^a のいずれも 2 以外の素因数を持たないので
5^c-3^a=2^t , 5^c+3^a=2^(2b+2-t) (t<2b+2-t)
また、5^c , 3^a は共に奇数なので 5^c-3a , 5^c+3^a の一方は 2 で一度しか割れない。
t<2b+2-t なので t=1 。(1) より a=c=1 がわかり、b=2 がわかる。
従って (a,b,c)=(1,2,1) となり
この場合は (x,y,z)=(2,4,2) のみ。
ゆじとも さん 2013/08/31 19:31:34 報告
10
お二人とも、返信が遅れてすいません!

平賀さん

コメントありがとうございます!受験問題として出題するなら、「任意の自然数nに対してnとn^2-2の公約数は1か2に限る」などといった、誘導が必要かな、と思いまして(笑)まあ、それくらいなら自明といえば自明ですよね。

ゆじともさん

原題を少し改変して解いて頂きありがとうございます。正解です。やはり、こういうタイプは、剰余系や合同式で絞り込むのが定石といえそうですね。しかし、今日の大学入試で誘導なしで出題すれば、かなり出来は悪そうに思えます。
marimo さん 2013/09/04 18:28:10 報告
11
ちょっと, 古い投稿に対するコメントで申し訳ありません.
今, 学習院のある問題を探している途中で, ここにたどり着きました.

ようやく, 大学入試でも第 4 問のような主題が実現されました. 実は, これは今回, 初めてではなく,
私の知る限りでは, 2度目なのです. 初めて出題したのは, 1970年代初頭, 中央大経済学部であったかと思います. やや長文の(かつて, 京大が出題した束の考え方をテーマとして, 姉, 妹の会話形式, あるいは同大学のペル方程式をテーマとした穴埋め形式の問題)誘導形式で出題されたものです. 残念ながら, 1970代初頭の電話帳は処分されておりまして, 今は確認できません.
近谷邦彦 さん 2019/03/05 00:45:36 報告
12
第 4 問について、ここでコメントしていました.

http://suseum.jp/gq/question/2871
近谷邦彦 さん 2019/03/05 00:54:46 報告