神戸大の不等式

ten さん

  • 公開日時: 2012/09/01 17:44
  • 閲覧数: 8867
  • コメント数: 12
  • カテゴリ: ニュース・雑談

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1
等号成立の条件まで、仮定の中に入れたらどうでしょうか。
n=k のとき等号成立は、a1=a2=・・・=ak 
クロニャンコ さん 2012/09/01 20:02:29 報告
2
>クロニャンコさん
早速のコメントありがとうございます。確かに等号成立条件まで仮定に含めるとあっさりいきますね。ご教授ありがとうございました。
ten さん 2012/09/03 00:19:06 報告
3 近谷邦彦 さん 2012/09/04 08:50:48 報告
4
コーシー・シュワルツの不等式を用いる解法も有名です。

{ [式:…] }[式:…][式:…] }≧[式:…] [式:…]
等号成立は,
[式:…]


この解答は「大学への数学2007年8月号P.88【例題4】2003福岡教育大」の解答で今田貞氏が書かれています。
JUN さん 2012/09/04 22:52:04 報告
5
n変数のC.S.を直接, 大学入試で使用するのは、個人的には賛同しません。東工大≒京大の確率と不等式の問題でも, 一部の解答を除いて, 6変数を相手に直接, C.S.を利用していないようです。そもそもn次元の内積は, 高校数学の範囲外ですよ。尤も, 判別式でn変数のC.S.を証明するならまだしもですが。早稲田の政経にあるように。あるいは, Jensenの定理ですかね。
近谷邦彦 さん 2012/09/04 23:58:23 報告
6
>5 近谷邦彦さん

確かに「n次元の内積は高校の範囲外」です。
勉強になりました。ありがとうございました。
JUN さん 2012/09/05 01:15:52 報告
7
クロニャンコさん:
≫等号成立の条件まで、仮定の中に入れたらどうでしょうか。

それでいいのでしょうが、微妙にいやらしいところがありますね。
不等式が2段構えになるとか、等号条件が [式:…] のときは空条件になってしまうとか。だからきちんとした解答を書くのは結構大変じゃないかなあ。

==========
それ以外だと。
これもよくある方法でしょうが、各[式:…]を定数倍しても与式の値は変わらないから[式:…] に固定すると、[式:…] だから [式:…]
等号成立は各 [式:…] について [式:…] のときで、定数倍してもいいのだから各 [式:…] が互いに等しい、が残る。
平賀 譲 さん 2012/09/05 03:07:14 報告
8
帰納法を用いるなら
> 不等式が2段構えになる
のは不可避ですが,等号条件は
 [式:…]
などすれば[式:…]でも違和感はないと思います.

勿論(1)があるのですから,直接
 [式:…]として[式:…]
あるいは
 [式:…]として[式:…]
とするのが流れでしょうけれど...
honda さん 2012/09/05 15:55:23 報告
9
>近江さん,JUNさん,平賀さん,hondaさん

たくさんの貴重なコメントありがとうございます。いろいろと勉強になりました。平賀さんがご指摘の通り,n=1のときの等号成立条件はちょっといやらしく,高校生に書かせるなら「n=1のときは,a_1は任意。n>1のときは,a_1=a_2=…=a_n」とでもなりましょうか。文系の出題なので,どのように配点されているのかわかりませんが,採点基準は知りたいものです。

また,平賀さんの「よくある方法」は全く思いつきませんでした。勉強になりました。ありがとうございました。
ten さん 2012/09/06 18:15:23 報告
10
honda さん、ten さんのコメントに対して。

《等号条件について》
   [式:…]
と言っても、帰納法で実際に使うのは:
   [式:…]
といった形にしてでしょう。これなら [式:…] でも OK です。
そこでこれを帰納法における「等号条件」として使うこともできます。
[式:…] は(見かけ上では)[式:…] よりは弱く:
   [式:…]
ですが、実際にはいわば「成長する条件」で、帰納法の適用に平行して:
   [式:…]
も言えます。

これは当たり前と言えば当たり前で、[式:…] は「相加平均=調和平均」を含んでいますが、問題自体が実質的に「相加平均≧調和平均を示せ」にほかならないからです。

まあ、そこが不安であれば、[式:…] を強めて:
   [式:…]
とかするのでもいいでしょう。実際には片側だけの:
   [式:…]
だけでも十分で、[式:…] は明らか、これから [式:…] の後半も成り立つ。

=================
honda さんのコメント 8 後半、(1) を使う解法で1番目はいわば標準解法ですが、2番目はおいそれとは思いつきませんね。実際にこれを使った解答を書いた受験生がいたらおもしろい。
平賀 譲 さん 2012/09/07 00:04:23 報告
11
> 2番目は
先生の「よくある方法」と同じですね.
honda さん 2012/09/07 21:06:20 報告
12
≫ > 2番目は
≫先生の「よくある方法」と同じですね.

発想とか手順とかはかなり違うと思うけど。
平賀 譲 さん 2012/09/10 11:52:10 報告
2012年の神戸大文系第3問に関する質問です。\\ \noindent (1) 正の実数 ${x,\ y}$ に対して,\\ $${\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge 2}$$\\ が成り立つことを示し,等号が成立する条件を求めよ。\\ (2) ${n}$ を自然数とする。${n}$ 個の正の実数 ${a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n}$ に対して,\\ $${ \left(a_{1} + a_{2} +\cdots+a_n\right)\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}\right)\ge n^2 }$$\\ が成り立つことを示し,等号が成立するための条件を求めよ。\\ \noindent ある生徒が(1)に頼らず,帰納法で(2)の不等式を証明しました。\\ この場合,等号成立はどのように考えたらいいのでしょうか。\\ ${ \left(a_{1} + a_{2} +\cdots+a_n\right)\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}\right)= n^2 }$ ならば ${ a_1=a_2=\cdots=a_n }$\\ \noindent ということだと思いますが,これは単独に示すことは可能なのでしょうか。私自身は,コーシー・シュワルツの不等式を別に示しておいて(それなら帰納法はいらないのですが),その等号成立条件に乗せるくらいしか思いつかないのですが,良いアイデアがあればご教授ください。よろしくお願いいたします。