高校範囲外?

あすか さん

  • 公開日時: 2012/02/22 19:37
  • 閲覧数: 14247
  • コメント数: 11
  • カテゴリ: 入試・教育

ちょっとした疑問を感じましたので、投稿します。

いつも何気なく大学入試問題を解いている際に、合同式(mod)やガウス記号が入試に出題されています。

入試の際にこれを用いて解答しても減点対象にはならないでしょうか。私としては、減点にはならないしもし不安であればその解答とは違う方針で解答をまとめることを進めていますが、みなさんはいかがでしょうか。

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No メッセージ 投稿者 日時    
1
私, 個人として解く際には, modular arithmetics を使用します。
ただし, 教える際には, ほとんど使いません。
どうしても, 入試で使う場合には,合同式の性質ぐらいは答案に書いておけばよいかなあと個人的に思います。でも, 採点の厳しい(うるさい)東北大の場合は, 使わないほうが無難かも。
近谷邦彦 さん 2012/02/22 22:49:35 報告
2
2010年一橋大の数列と整数の融合問題をご覧ください.周期が20と,恐ろしく長いものです.合同式を避けたら書けないでしょう.数学オリンピックでは,合同式は普通に使います.
なお,次の新課程の教科書には合同式は,発展事項で載ります.
安田 亨 さん 2012/02/23 00:04:33 報告
3 近谷邦彦 さん 2012/02/23 08:22:48 報告
4
>お認めになりますか?
って,私への書き込み?
ごくまれに,書きます.もちろん,普通の解法の後ですけど.相手を見てですね.
整数の合同式も,普通のと,2つ書きます.「合同式はこの鬱陶しい部分の省略形であり,特別難しいことをしているわけでない.省略形を範囲外と言うことは愚かなことだ」ということをつけたします.ただし,2010一橋の問題の解答は,合同式だけですけど.
安田 亨 さん 2012/02/23 08:43:10 報告
5
いい勉強になります。あと、ガウス記号についてはいかがでしょうか。
ガウス記号についてはいかがでしょうか。基本問題文には、断りがありますが答案上でガウス記号を用いて解くのは減点対象になりますでしょうか。
あすか さん 2012/02/23 09:48:38 報告
6
歴史的な問題もあり,合同式よりはガウス記号の方が敷居は低いです.
明治になり,留学生が本を持ち帰り訳すときに,当時,欧米で使われなくなっていた「ガウス記号」という用語を「ガウス記号という」と誤訳(?)したというようなことを京大名誉教授の一松先生が以前何かに書かれていました.いいかげんな記憶ですみません.
解答の中に書くのは問題ありません.以前,旺文社の入試正解の京大の解答で「ガウス記号を使うと,答えはこうなる.使わない形はこうなる」と,試しに2つ書いておいたら,大学入試懇談会で,京大の先生が「答えにガウス記号を使ってはいけません」と言っておられましたが,使っていけない理由などないと思います.活字になる回数が増えれば抵抗もなくなっていくので,確信犯で,書いているわけです.
数学では
floorfunction(床関数,小数部分の切り捨て,ガウス記号と同じ)とceilingfunction(天井関数,小数部分の切り上げ)があり,東工大では,過去に床関数と天井関数の両方が出題されています.天井関数が出たときに,多くの人がガウス記号だと錯覚したので,一方だけを教えるのは害があるので,両方教えた方がいいと思います.もともと,組合せ論などで,個数を数えるための記号で,場面に合わせて両方を使い分けるものです.
安田 亨 さん 2012/02/23 13:00:17 報告
7
安田先生

ありがとうございます。
先生の考えは、大変わかりやすく大いに参考になります。
今後もありましたら、ぜひコメントのほうよろしくお願いいたします。
あすか さん 2012/02/23 14:22:33 報告
8
>>2010年一橋大の数列と整数の融合問題をご覧ください.周期が20と,恐ろしく長いものです.合同式を避けたら書けないでしょう.

この一橋の問題についてですが, 実験をして, 周期20を発見し,やはり, [式:…]を示す必要がありますでしょうか? 東大の過去問(1993?)で3項間漸化式において, [式:…]が10の倍数になる条件を求める際,その前の設問だったかもしれませんが,偶奇の周期性により, というあっさりした解答であったのでこのような質問をしてみました。

>>なお,次の新課程の教科書には合同式は,発展事項で載ります.

ようやく, 日本の教科書に載るようになりましたか。

ついでに, 等差, 等比数列の一般項も初項[式:…]にして欲しいですね。

尤も, 別に公式という程のものでもないけれども。

Gauss記号につきしては, 問題ないと思います。

ところで, xy平面において, 不等式[式:…]に含まれる格子点の個数を求める問題で,
Gauss記号を使って, Σを表したら, 30点満点で何点もらえるだろうか?









近谷邦彦 さん 2012/02/23 15:22:44 報告
9
確認ですが、問題になっているのは単に記号として使っていいか、ということではないですよね?定義なら1行あれば書けるから。実際、問題文にも「[式:…][式:…] を超えない最大の整数を表す」と普通に書いてあるし。「[式:…]」のほうは「[式:…][式:…] の倍数([式:…][式:…] で割った余りは等しい)」でよい。

そうではなく、それら記号で表せる性質を使っていいか、ということでしょうか。
例えば一橋大の問題への本サイトの山田さんの解答:
   http://suseum.jp/pq/answer/1336
には合同式は出てきませんが、「和を割った余りは割った余りの和(を割った余り)」という、合同式(というより剰余)の性質:大げさに書けば:
   [式:…]
が、少なくとも計算では使われています(つまり実際に [式:…] を計算したりはしていないはず)。

これぐらいなら断らなくてもいい、ということでしょう。いみじくも「大学への数学」の解答には「10で割った余りは、1 の位のことです」(2010年5月号 p.66)という的確な指摘があり、これなら位取り記法での計算法として、小学生にも明らか?

実際に何をどこまで使えるかは、その性質にも、また文脈にもよるでしょうから、一概には言えないでしょう。
平賀 譲 さん 2012/02/24 02:23:20 報告
10
≫この一橋の問題についてですが, 実験をして, 周期20を発見し,
≫やはり, [式:…] を示す必要がありますでしょうか?

これは「そういう形で解答を書かなければいけないか?」という意味ではなく、
「それ以外の解法はないか?」といった意味でよろしいでしょうか?

そうだとして、実戦的にはこの解法が一番早いでしょうね。うまい解き方を考えたりするよりは。しかし一方、周期が 20 もあるとやっていて不安になるでしょう。
それに数学としては泥臭い、あるいは内容的に乏しい感じもします(これは解答としてはというより、そういう解答を想定しているのであれば、問題のほうについての話です)。もっと「系列の構造」が見えるような解答のほうが、手間はともかくとしてかっこいい。

で、やりようはあります。もっともどこかしらで全部数え上げるといった泥臭い処理は必要かもしれませんが、少なくともその量は減らせる。
# 以下は問題解答へのコメントとして書いた方がいいかもしれませんが。

1つの方法は、([式:…] の約数である)[式:…] で割った余りを考えることです。
以下はすべて [式:…] で考えます。まず:
   [式:…]
だから、式の形が簡単になる。以下では:
   [式:…]
で考えます。ここで数列の中に [式:…] の倍数、つまり [式:…] があれば、
剰余列は:
   [式:…]
となって周期 [式:…][式:…] が表われます。ここで一休みして、今度は [式:…] を含まない数列を考えると、[式:…][式:…] という並びがあってはいけないから、
   [式:…]
となって、周期 [式:…] の系列になります。ちなみにこれは [式:…] という系列でもあります。ここで [式:…] に戻ると、系列はさらに:
   [式:…]
と続きます。つまり [式:…] の前後の値は
   [式:…]
と続き、 [式:…] の系列になります。[式:…] と一致するというのはどうもたまたまのようですが、直接調べてもこれが周期 [式:…] であることはわかり(フェルマーの小定理も参照)、したがって [式:…] 全体は周期 [式:…] の周期系列になります。
実際には [式:…][式:…] のいずれかの形で尽くされます(ここらを調べるのが泥臭い部分ですが、問題への解答としてはそんなに詳しくやらなくてもよい)。

========
そこでまず問 (1)。
[式:…][式:…] とを比較すると、剰余 [式:…] のうち [式:…] はそのままで、[式:…] については:
   [式:…]
のように対応します。これにより、偶奇が入れ替わる点に注意。
本問の場合、[式:…] で、[式:…] のとき [式:…] は偶数ですから、[式:…] から [式:…] が一意に決まります。つまり [式:…][式:…] の場合にはこれがそのまま [式:…] になり、[式:…] の場合には [式:…] になります。[式:…][式:…] で:
   [式:…]
という周期 [式:…] の周期列であり、実際の数値は最初の [式:…] 以外はすべて偶数だから、2周目以降は [式:…] で:
   [式:…]
となります。したがって [式:…] では上と同じ並びになり、10番目をとって [式:…] です。

========
問 (2) のほうはもっと簡単で、[式:…] では [式:…] の系列になるから周期 [式:…] で:
   [式:…]
(蛇足: [式:…] の場合は [式:…] であり、上に含められます。)
また [式:…] だから:
   [式:…]
つまり([式:…] と合わせて)すべての [式:…] について、[式:…] の偶奇が等しいことも明らか。したがって [式:…][式:…] の倍数でもあり、[式:…] の倍数でもあるので [式:…] の倍数です。

=======
追記
上記の山田解は [式:…] を導くことにより、
   「[式:…][式:…] の倍数」
という、問題よりもっと強い結論を導いています。

こちらの解答はそれより弱い論法なので、このままではそこまでは言えません。
[式:…] から [式:…] は言えますが、
もちろんこれだけから [式:…] は言えません。
平賀 譲 さん 2012/02/24 03:04:35 報告
11
平賀先生,詳しい解説, ありがとうございます。
私の解法も, 平賀先生の解法とほぼ同じです。
たとえば, このような感じです。

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=151&t=335277&

My Memo

合同式を用いたほうが答案がすっきりする問題?!

数列の周期性

1979 東大 3項間漸化式 数列${\{u_n\}}$の項の中に4の倍数の項が現れないための[式:…]のみたすべき必要十分条件

Solution by me, B.T.

2010 一橋大 

199? RMO?

近谷邦彦 さん 2012/02/24 09:18:05 報告