期待値が小さい?

  • 公開日時: 2011/07/02 16:17
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  • コメント数: 14
  • カテゴリ: 教養・雑学

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No メッセージ 投稿者 日時    
1
これ、高校1年の定期試験の問題ですよね?(高3とかでなく)
平賀 譲 さん 2011/07/02 17:31:10 報告
2
あああ〜〜
「た」を使って確率の問題を書くことをやめましょうというのが,私の主張です.
まあ,私の主張などどうでもよいですが...
「Aが勝った」のですか?「行った試合」なのですか?
既にやってAが勝ったなら,期待値など無意味です.
やはり確率の問題は,現在形で書くべきですわ.
安田 亨 さん 2011/07/02 19:19:31 報告
3
これは,期待値を求める際に計算した確率が,

[式:…]

だから,4より小さい期待値となってしまう,ということなのでしょうか.

ちなみに,

A,Bの2チームが試合を行い,先に4勝した方が優勝とする.A,Bの勝つ確率は同程度に確からしく,試合には引き分けはないものとする.このとき,どちらかのチームが優勝するまでの試合数の期待値を求めよ.

という問題を見つけました.

この問題の期待値は [式:…] で,[式:…] を2倍した期待値となります.
Aquarius さん 2011/07/02 20:57:35 報告
4
I wrote:
> これ、高校1年の定期試験の問題ですよね?(高3とかでなく)

Aquarius さんの書いたことに連動させると、条件付き確率は数 C の範囲で数 A ではないのではないかと。
まあ条件付き確率というほど大げさなものではないと言えばそれまでですが。
平賀 譲 さん 2011/07/02 21:00:13 報告
5
「Aが優勝するまでに行った」と書くと,Aが優勝したのが前提になります.つまりやってしまったことになりますが,高校1年なら数学Aの確率ですから,まだやっていないときの確率です.
だから「今から試合をする」ことになります.
「Aが優勝するまでに行った」
という文章は意味を持ちません.現在形で書いてみれば
「Aが勝つ場合について試合数の期待値を求めよ」
となり,変だとわかるはずです.
「試合数の期待値を求めよ」
が妥当な表現です.
「Aが優勝するまでに行った」
と書いた高校教員が困ったちゃんです.
安田 亨 さん 2011/07/02 21:15:43 報告
6
> 平賀先生
これは高校1年生用の定期考査の問題です.

> Aquariusさん
その問題は生徒が学校で使っている問題集にも載っており,そのままでは芸がないと思った教員が問題をいじったのではと推測します.

> 安田先生
確率の問題を過去形で書くことの是非についてはここでは掘り下げませんが,私個人としても現在形で書くべきだと思っています.


さて,問題点は安田先生の書かれた
> 「Aが優勝するまでに行った」
> と書いた高校教員が困ったちゃんです.
というコメントにすべて集約されているかと思います.Aquariusさんが書かれたように,確率の和が1/2にならないのは,すべての場合を尽くしていないからに他なりません.Aが勝つ場合だけを考えた期待値など意味がありません.生徒が「4より小さいのはおかしい」と気づくのに,教員は何とも思わなかったのでしょうか?

なお,まだ答案は返されていないので,今後この問題をどのように採点するつもりなのかは不明です.生徒が先生に.どのようにこのことを伝えるのかもわかりません.先生はどう対応するのか,楽しみなところです.

ちなみに,その生徒は私にこの質問をする前に,同じ塾の2人の指導者にも同じ質問をしたそうです.すると2人とも「あなたの解答に間違いは見当たらない.期待値なんてイメージと違う値がでることも多く,アテにならないってことだね.」という主旨のことをおっしゃったようです.それでも納得いかず,私のところへ来たということですが,出題者同様,この2人も困ったちゃんです.
ドンキー さん 2011/07/03 01:39:20 報告
7
ドンキーさん:
≫Aが勝つ場合だけを考えた期待値など意味がありません.

そうなんですか?
私は「A が優勝するという条件下での試合数の期待値」というのは十分意味を持ちうると思うのですが。

本問の場合、Aquarius さんが書かれているように、優勝が決まるまでの試合数の期待値は 93/16。A, B は対等だから、どちらが優勝するにせよ、試合数の期待値は 93/16。つまり「A が優勝する場合の試合数の期待値は 93/16」です。これは解答に照らすと:
   [式:…]
という計算をしていることにあたります。

一般化すると、A, B が1試合に勝つ確率を [式:…] とします。
  [式:…]
  [式:…]
(ただし両式中の [式:…][式:…] の略記とする)とすると、
A, B が優勝する確率はそれぞれ [式:…]、また優勝が決まるまでの試合数の期待値は [式:…]

本問解答は [式:…] を直接答にしちゃっていることにあたりますが、
   [式:…]
   [式:…]
とすればそれぞれ、A, B が優勝する場合の試合数の期待値になるのでは?

例えば [式:…] とすると
  [式:…]
で、A が優勝するのはいかにも無理そう、その上:
  [式:…]
で、たとえ優勝するにしても、B が優勝するより1試合ちょっと多くかかる、といったことが言えると思うのですが。

この [式:…] の値は、例えば A, B の対戦を無作為に多数生成し、A が優勝した場合のみを取り出してその平均試合数をとる、という形で確かめることができます。
それともこれは「期待値」とは違うのでしょうか?

=======
ちなみに [式:…][式:…] について単調減少であり、[式:…] になるのはいいとして(つまり必ず勝つなら4試合で決着がつく)、[式:…] はそのままでは [式:…] の形ですが:
   [式:…]
になります。
平賀 譲 さん 2011/07/03 03:57:45 報告
8
平賀先生
以下の私の書き込み,ほとんど無意味ですね,なぜなら,皆様,共通認識の上ですから.

>私は「A が優勝するという条件下での試合数の期待値」というのは十分意味を持ちうると思うのですが。

もちろん,これ自体は意味を持ちます.しかし,ドンキーさんの書かれているように,定期テストを出題した教員と塾の先生方は,あの問題文を
「A が優勝するという条件下での試合数の期待値」と認識しているわけではない
という点が問題です.
大体において,数学Cの条件付き確率は,ほとんどの大学において,出題範囲外であり,学校でやっていないか,やっても,生徒はまじめに学習していない,という現実があります.実質的に高校の学習範囲外になっているのです.予備校でも,テキストには扱われません.
ですから,確率といえば数学Aの確率です.ただし,大学入試では(予備校のテキストでも),kのΣや等比数列,無限級数との融合も入りますが,これは数学Cを除く確率です.まあ,平賀先生はご存じの上で書かれているのだと思いますが.

ドンキーさん
>期待値なんてイメージと違う値がでることも多く
是非,その先生方に頼んで,その例を見せて貰いたいものですねえ.「多く」あるのなら,それは今回のようなことをやっているということの証しではないでしょうか?
数学Aの期待値は,事象が2つから5つ程度のもので,kのΣや,等比数列の和などのΣ計算を伴わないものです.
事象をすべて書く,確率をすべて求める.確率の和が1になるかどうかを確認して,これを計算ミスのチェックに使う(あと一つの確率を求めればいいというときに,1から他の確率の和を引く,などということをしない.せっかくの計算のチェックのチャンスを放棄することになる)
という手順を教えていないのでしょう,
安田 亨 さん 2011/07/03 06:38:37 報告
9
> 平賀先生
すいません.私の書き方に問題がありました.Aが勝つという前提での試合数の期待値,というのは当然意味があると思います.私は今回のテスト問題として(つまり条件付き確率は習っていない立場として)意味がない,というより意味がわからないというつもりで書きました.ただ数学Cを含めても,条件付き期待値(と勝手に名付けました)については学習しないと思います.生徒には,条件付き確率の話は軽く説明しました.

> 安田先生
おそらく説明されたお二方は,すぐに問題点が見つからず,思考が停止し,適当に流したのではないかと思います.確かに,期待値が思ったより小さかった,なんてことはありますが,今回のケースで4より小さくなるというのは,イメージと違うというレベルではありません.確率の和が1になるかどうかのチェック,という基本に戻れば,Bが優勝する場合の試合数が定義できないことが問題だと気づくはずなのですが.
ドンキー さん 2011/07/03 10:20:39 報告
10
安田先生、ドンキーさん:

どうもありがとうございます。
ドンキーさんのコメント 6 にある「2人の困ったちゃん」はなるほどその通りですが、出題者がそうかどうか(またドンキーさんがそういう話題として持ち出されたのかどうか)は見極めがついていませんでした。というより、そういう話だとは思いいたっていなかった、というほうが正しいかもしれません。これも思い込みですね。

問題文の良し悪しは別として、出題意図として
まさに期待値が4を下回るはずのないことに気づかせる(優秀な生徒さんです)、遡って Aquarius さんが書かれているように確率の和が1でないことに気づかせることが目的ということはありうる。それに本問の場合、「どっちが優勝でも試合数の期待値は同じ」だから条件付き確率として考えるほどのこともない。
.............こう考えれば出題者としてスジが通っていることにはなりますが、まあ「性善説」的解釈ではあります。
平賀 譲 さん 2011/07/03 13:22:10 報告
11
期待値が4より小さくなったことに対して,やはりどこかに問題があると再考する必要があると改めて感じました.

確率がマイナスになったり,1より大きくなったときには,計算ミスがないか,あるいは問題文をただしく読み取っているか,などといった確認をするように,期待値についても,意識的にその意味を考える習慣をつけようと思います.

今回の期待値の場合,確率分布表(これが数学Aの範囲かどうかは曖昧なのですが)を書けば確率の和が1になっているかどうかが視覚的にもすぐ見えると思います.
Aquarius さん 2011/07/03 14:19:12 報告
12
この問題に関しては大体論議が終わっているようですが,
条件付き確率の話が出たのでちょっとだけ参加したいと思います。

確かに現在条件付き確率は数学Cで指導要領範囲外ですが,
私立中学に通う中学3年生の今期中間および期末テストの範囲に入ってきます。
現在の中3から数学Aに条件付き確率が復活し,3年後の大学入試にも出題されるようになると思います。

自分自身が条件付き確率をほとんど学習した覚えがないので,対応するとき少しどきっとしましたが,
やってみると解けるものでしたので少しほっとしました。
quack さん 2011/07/04 21:43:39 報告
13
続報です.

テストが返却され,そのときに問題に不備があったとして先生が謝罪されたそうです.採点しているときに不備に気づき,教員同士で話し合いがなされ,今回は93/32でも93/16でも○にしたということです.また期待値を計算していなくても,Aが優勝する各場合の確率を計算し,和が1/2になることを確認して止まっているような答案も正答扱いになるようです.

昔,私が高校生の頃に,学校の定期テストで
[式:…]
のような関数方程式の出題があったのを思い出しました(式はうろ覚え).当時私はこれが解をもたないことに気付かず,解けたつもりでいたので,出題ミスと知ったときはそれを指摘できなかったことが悔しかった,という思い出です.
ドンキー さん 2011/07/07 11:29:46 報告
14
他の方が, おっしゃるとおり,問題文は,現在形で書くべきですね。
追試?をやるべきではないでしょうか。生徒さんたちがかわいそうです。
いずれにしても準備不足ですね。
そういえば, 国立理系の大学で, 解答不能の問題があったようですが。
毎年, 必ずといっていいほど, 問題の訂正が起こりますね。もっと, 慎重に, 問題の校正を問題作成者の方々に, お願いしたいものです。

ところで, ドンキーさんの問題って, これじゃありませんか?

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=38&t=401514&hilit=Functional+equation
近谷邦彦 さん 2011/07/07 11:48:07 報告
\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{waku,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\vns#1#2{\vec{#1}\mdot\vec{#2}}%ベクトルの内積(小) \def\Vns#1#2{\Vec{#1}\cdot\Vec{#2}}%ベクトルの内積(大) \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\quad\dotfill} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} \def\Kakko#1{(\makebox[1.1zw][c]{#1})}%2文字分カッコ \def\ake{\;\,\,} %枠をつけたときの数式の位置の調整 %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \setlength{\textheight}{40\baselineskip} \begin{document} たまには軽い話題を,ということで,ある高校1年生の質問について紹介します.難しい内容ではないですが,意外にひっかかる?\\ 質問は学校の定期テストの問題についてです.問題は次のようなものでした(問題文は不正確). \begin{jituwaku} \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt AくんとBくんがあるゲームで勝負をします.1回のゲームでAくん,Bくんが勝つ確率はともに$\dfrac{1}{2}$で,引き分けはありません.このゲームを繰り返し行い,先に4勝した方を優勝とします. \begin{shomon} 4試合目でAが優勝する確率を求めよ. \end{shomon} \begin{shomon} 6試合目でAが優勝する確率を求めよ. \end{shomon} \begin{shomon} Aが優勝するまでに行ったゲームの回数の期待値を求めよ. \end{shomon} \end{jituwaku} \h\textgt{生徒の解答}\\ \kakkoichib\quad $\SK{\dfrac{1}{2}}\shisu{4}=\bd{\frac{1}{16}}$ \h\kakkonib\quad 5試合目までにAが3勝2敗で,6試合目にAが勝てばよいから \[\comb{5}{3}\SK{\frac{1}{2}}\shisu{3}\SK{\frac{1}{2}}\shisu{2}\times\frac{1}{2}=\bd{\frac{5}{32}}\] \kakkosanb\quad \kakkoni と同様に考えると,Aが5試合目で優勝する確率は \[\comb{4}{3}\SK{\frac{1}{2}}\shisu{3}\SK{\frac{1}{2}}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{8}\] Aが7試合目で優勝する確率は \[\comb{6}{3}\SK{\frac{1}{2}}\shisu{3}\SK{\frac{1}{2}}\shisu{3}\times\frac{1}{2}=\frac{5}{32}\] よってAが優勝するまでに行ったゲームの回数の期待値は \[4\times\frac{1}{16}+5\times\frac{1}{8}+6\times\frac{5}{32}+7\times\frac{5}{32}=\bd{\frac{93}{32}}\] \\ ここで生徒の質問は「答えが4より小さいのはおかしくないですか?」というものでした.確かにおかしいような気がしますが,それでは,生徒の解答は何がまずかったのでしょうか?それとも問題が悪いのでしょうか? \end{document}