3点を通る円

  • 公開日時: 2011/04/09 00:49
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  • コメント数: 8
  • カテゴリ: 研究・考察

一直線上にない異なる3点をを[式:…]とする。

(放物線の方程式を求めるときは、3点A,B,Cのx座標は互いに異なるものとする。)

3点A,B,Cを通る放物線の方程式を求める方法として、2点A,Bを通る直線の方程式[式:…][式:…]を加えると

[式:…]・・・(1) 、この式に

点Cの座標を代入してkの値を求め、その値を(1)に代入すれば3点A,B,Cを通る放物線の方程式となる。

高校生の方も見られていると思いますので、具体例も示しておきます。

3点を、A(1,5),B(2,10),C(3,19)とする。直線ABの方程式は、y=5xなので、求める放物線は、y=k(x-1)(x-2)+5xとおけ、点Cの座標を代入して

19=2k+15となり、k=2 ゆえに求める放物線の方程式は、[式:…]

上記の解法は、別のサイトで見かけ、図形的な説明もありました。

そこで、この方法を、円の方程式でも利用してみました。

2点A,Bを直径とする円の方程式[式:…]

直線ABの方程式[式:…]

求める円の方程式は、[式:…] [式:…] [式:…]・・・(2)

(2)に点Cの座標を代入してkの値を求め(2)に代入すれば、3点A、B、Cを通る円の方程式が求まる。

3点を、A(1,2),B(4,3),C(7,-6)とする。直線ABの方程式は、3y-x-5=0, ABを直径とする円の方程式は(x-1)(x-4)+(y-2)(y-3)=0

ゆえに、求める円の方程式は、(x-1)(x-4)+(y-2)(y-3)+k(3y-x-5)=0と表され、点Cの座標を代入して、k=3となり、

求める円の方程式は,[式:…]

上記のように求まる。

 参考書やサイトの調べ方が不十分だと思いますが、この求め方は、図形的に考えるとどのようなことを意味しているのでしょうか。

 参考とするものがあれば教えてください。

 

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No メッセージ 投稿者 日時    
1
束(そく)、円束で調べてみてください。例えば Wikipedia なら:
  http://ja.wikipedia.org/wiki/束_(射影幾何学)
(数学には束: lattice というのもありますが、そちらではないので注意)

(2) は A, B を通る任意の円を表わします。

なお放物線のほうについては、たまたま見ていた『大学への数学』2006年8月号:
  藤木淳「計算を減らす設定-数と式」(pp.56-59)
にも出てます。
平賀 譲 さん 2011/04/09 03:19:49 報告
2
この内容は高専の数学の教科書にも載っていたような・・・
気のせいかもしれませんが。

話は変わりますが、「大学への数学」値上げしましたね(泣)
33846 さん 2011/04/09 07:33:24 報告
3
平賀先生、sit33846さん

アドバイスありがとうございます。

円束について、サイトを見ました。
(まだ少しだけです。)

高校では、直線群とか円群という言葉で
説明されているものが、 直線束、円束ということでしょうか。

これも、以前説明のあった、「単項式は多項式の特殊な場合」
の類でしょうか。(高校だけの話)

大学への数学2006年版は、ないのでどこかで探してみたいと思います。

高専の数学の教科書は、大学1,2年で使用するものですか。

いただいたアドバイスを参考にもう少し調べてみます。
射影幾何は、じっくり取り組まないと現在の私には、難しそうです。
(勉強することが多い。)
クロニャンコ さん 2011/04/09 10:32:00 報告
4
大学への数学(06 8月号)を見ることができました。
藤木先生の書かれた内容の中に、

3点(a,A),(b,B),(c,C)を通る2次関数の方程式として
[式:…]

この式は、今までに見たことはなく、きれいなのでここに載せました。

座標の使い方も、添え数を使うより、見やすいです。このような使い方もあるのかと勉強になりました。

円の方もきれいになるかと式変形を試みましたが、思うようなきれいな式はできていません。(残念)




クロニャンコ さん 2011/04/23 18:52:00 報告
5
クロニャンコさん
ラグランジュの補間多項式といいます.
大数の記事は,件のページ以外にも,この補間多項式を使った記事はありますが,無理に使った例が多い.

大学入試では「使わないと大変」ということは,あまりありません.大半は,通る点が数値で与えられているので,正直にやるか,束を使う方が簡単です.

06年名大・後期・理学部第一問は,その希な例で,補間多項式を使う方が簡単です.通る点が,文字で与えられているからです.
安田 亨 さん 2011/04/23 19:10:20 報告
6
My Memo

197? (S48) W大/政経≒京大 円を表す条件

Families of Circles 200? 埼玉大

Lagrange's Interpolation Polynomial

http://suseum.jp/gq/question/1396
近谷 邦彦 さん 2012/01/24 18:37:01 報告
7
行列式を使って表わすのは簡単ですが...

放物線のとき
| 1, x, y, xx |
| 1,a1,a2,a1a1|
| 1,b1,b2,b1b1| = 0
| 1,c1,c2,c1c1|

円のとき
| 1, x, y, xx + yy  |
| 1, a1,a2,a1a1+a2a2 |
| 1,b1,b2,b1b1+b2b2 | = 0
| 1,c1,c2,c1c1+c2c2 |


〔類題〕
空間内の4点ABCDは、同一平面上にないとする。
このとき、ABCDを通る球面が存在することを示せ。
(2011、京大理系)
prime_132 さん 2017/01/03 20:24:13 報告
8
この書き込みは削除されました。
@t 2017/03/20 01:20:58