Re:2010東大前期理系・第2問【+補足】(Re:等式2)

  • 公開日時: 2010/12/04 16:53
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  • コメント数: 1
  • カテゴリ: 入試・教育

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Glancing at the solution seems to be correct, if so, we can prove the ineqiality in the last line by the comparison of the area of some figure and trapezoid.
近谷 邦彦 さん 2010/12/05 14:41:45 報告
\documentclass[fleqn,12pt]{jsarticle} \setlength{\topmargin}{-2cm} \setlength{\mathindent}{3zw} \usepackage{amsmath,amssymb} \begin{document} (2)だけ見せられたら、次のように解いてしまいそう...。 \ 右側の不等式は, \[ \log\frac{m}{n} - \sum_{k=n+1}^{m}\frac{1}{k} < \frac{m-n}{2mn} \] \[ \Longleftrightarrow \log m + \frac{1}{2m} - \sum_{k=1}^{m} \frac{1}{k} < \log n + \frac{1}{2n} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \] よって, \[ \log (n+1) + \frac{1}{2(n+1)} - \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k} < \log n + \frac{1}{2n} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \] \[\Longleftrightarrow \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} \right) - \log \left( 1 + \frac{1}{n} \right) > 0 \] を示せば十分.これは微分すればすぐに示せます. \end{document}