積分・数列・極限

  • 公開日時: 2010/12/01 11:26
  • 閲覧数: 5042
  • コメント数: 18
  • カテゴリ: 入試・教育

このコンテンツをご覧いただくためにはJavaScriptをONにし、最新のFlash Playerが必要です。

最新のFlash Playerのインストールはこちら

公序良俗に反する不適切な投稿を発見された方はこちらよりご報告ください

この投稿にフォローする

コメントをつけるにはログインが必要です。

最新10件表示

No メッセージ 投稿者 日時    
1
一人二役?
一時期こういうものが2,3出た時期があります.しかし,試験にならないからすぐに消えました.一般の大学受験生向けではありません.変わった問題が好きな人向けです.
安田 亨 さん 2010/12/01 17:10:15 報告
2
では、普通の問題に飽きた受験生のみなさんは考えてみてください。
または、受験勉強の息抜きにでも。

それにしても、まさか大先生にマルチハンドル疑惑をかけられるとは…。
先生の御著書、御記事で勉強しているだけに、哀しいものがあります。
アンドロメダ さん 2010/12/01 21:16:09 報告
3
 [式:…]
平賀 譲 さん 2010/12/01 21:58:32 報告
4
>>3
大正解です!
アンドロメダ さん 2010/12/01 22:37:45 報告
5
こんばんは。

[式:…]を用いて評価するのかと思ったのですが、計算してみるとはさみこめませんでした。

Maclaurin展開で何項かの近似式を持ってきたりするんでしょうか。

ヒントをください。

追記

普通に積分する事を忘れていました。
取り組んでみます。
お騒がせしました。
infantry attacks さん 2010/12/02 00:41:43 報告
6
You can use Jordan's inequality.
近谷 邦彦 さん 2010/12/03 12:25:04 報告
7
To Hiraga, could you show the solution in detail?
This problem doesn't seems to be easy.

To Yasuda, could you show the source of the similar problems that you said?

To アンドロメダ,
could you show the source of the problem?

Thanks in advance.
近谷 邦彦 さん 2010/12/04 11:24:34 報告
8
まずはいいかげんな解答

まず [式:…] は単調増加、[式:…] は明らか。
[式:…] とおくと [式:…] は周期 [式:…] の周期関数で、1周期の平均値は:
    [式:…]

そこで十分大きな [式:…] に対しては:
    [式:…]
一方:
    [式:…]
したがって:
    [式:…]
つまり:
    [式:…]

これをいいかげんでない解答にするには、[式:…] の誤差評価をちゃんとやればいいわけです。実際には:
    [式:…]
    [式:…]
(A) のほうは、[式:…] が周期 [式:…] の倍数なら正確に(誤差なしで)成り立ち、誤差が生じるのは1周期からはみ出した部分でです。この誤差は意外と小さく、最大でも 0.22 ぐらい。

高校数学流にやるなら、(A) は [式:…] であるような整数 [式:…] なども念頭において適当な不等式で挟めばいいでしょう(誤差が小さいので、そんなに工夫しなくてもたいていの不等式でうまくいきます)。一方 (B) のほうは近似なしに:
    [式:…]
と直接計算するのでいいでしょう。
平賀 譲 さん 2010/12/04 12:16:41 報告
9
Thank you for the detail, Mr Hiraga.
The problem was interesting to me as well as students in oversea.

近谷 邦彦 さん 2010/12/04 12:42:01 報告
10
平賀先生のコメントを拝見して,いろいろな解法がある問題だと分かり勉強になります.

私なりに考えてみたところ(恥ずかしながら途中までしか出来ておりません.),
[式:…] より,
[式:…]

このとき,[式:…] として辺々加えると,

[式:…]
[式:…]

[式:…] より,
[式:…]

ここで,[式:…] をどのように扱おうかを考えていたところ時間切れとなってしまいました.(途中から[式:…][式:…] としてしまいましたが,最後にまた戻そうと思っておりました.)

また,先に平賀先生が答えをお書きになっていたのを拝見したところ,[式:…] が出てきておりましたので,この定積分 [式:…] から [式:…] が出てくるには,[式:…][式:…] を含んだ実数とならなければならないとも考えておりました.

Aquarius さん 2010/12/04 13:16:10 報告
11
> Aquarius さん

最後の式で [式:…][式:…] は整数)としてみてください。それで [式:…] が出てくる理由がわかります([式:…] の値自体は実はあまり関係ない)。
平賀 譲 さん 2010/12/04 13:48:36 報告
12
>>kunny先生
from my teacher です。
アンドロメダ さん 2010/12/04 14:43:18 報告
13
I see.
近谷 邦彦 さん 2010/12/05 10:48:31 報告
14
平賀先生
ご指導ありがとうございます.早速考えてみたのですが,[式:…] が出てきませんでした.やってみた形跡を書き出します.

[式:…][式:…] は整数)とすると,

[式:…] …①

ここで,[式:…] とおいて不等式を変形すると,

[式:…]

[式:…] (2行になってしまいました.)

[式:…]

となり,各辺を [式:…] で割ると,

[式:…]

ここで,[式:…] なので,はさみうちの原理より,

[式:…]

となってしまいました.

[式:…] が整数なので,[式:…] のときを考慮して,①の不等式の左辺と右辺に絶対値をつける必要があると思いますが,それでも同じ答えになってしまいます.

また,定積分 [式:…] を実際に計算してみると,[式:…] を含む式になりましたが,ここから [式:…] の形に変形することができませんでした.

再度質問することになってしまいすみません.ご指導いただければありがたく思います.
Aquarius さん 2010/12/06 05:26:21 報告
15
積分なんかちゃんとする必要はありません.
面積が正の方でやりますからx>0の方だけ考えます.k<0の記述がありますが,式に翻弄されてはいけません.
y=1+abs[sinx](absは絶対値)の周期はπです.まず0≦x≦πでグラフを描きます.
y=1+abs[sinx]のグラフを描くと,長方形(縦1,横π)の上に
abs[sinx]の山が乗った,面積(π+2)の蒲鉾型になります.これが周期πで,横にポコポコと並ぶことになります.
a_1=0ですから,a_1≦x≦a_2の面積が2^2,a_2≦x≦a_3の面積が3^2,…,a_{n-1}≦x≦a_nの面積がn^2
これらを加えるから,
x=0からx=a_nまでの面積全体が1^2+2^2+...+n^2-1=1/6 n(n+1)(2n+1)-1です.
0≦x≦a_nの範囲で,周期k個分とあと少しだとします.
kπ≦a_n≦(k+1)πとなる自然数kが存在し,蒲鉾がk個分とあと少し(蒲鉾の切れ端)分が出ます.その切れ端分の面積がαです.
0≦α<π+2
(π+2)k+α=1/6 n(n+1)(2n+1)-1
です.αは有限ですからα/(n^3)の極限は0です.したがって
(π+2)k/(n^3)の極限は=1/3
πk/(n^3)の極限は=π/3(π+2)

類題は2007年の東工大1番(はみ出し分が少し認識しにくいかも?),あとお茶の水(だと思う)にもあったけど,いま,探せない.07年近辺には,少しのはみ出しを自分で考察させるのが,一瞬の流行でしたが,こういう,自分で不等式を作る必要がある(上では不等式にしていないけど,普通の人は不等式にする)ものはできが悪い.
安田 亨 さん 2010/12/06 07:52:11 報告
16
安田先生もすでに書かれていますが、直接的な解答を書きます。
ただし計算のいくつかははしょりますので、既述のコメントも参照してください。

[式:…] とします。周期性より、[式:…] が(正の)整数のとき:
   [式:…]
与えられた [式:…] に対し、
   [式:…]
である整数 [式:…] をとります。すると (A) と問題の条件より:
   [式:…]
   [式:…]
   [式:…]
式を簡単にするため、[式:…] と書きます:
   [式:…]

ここで [式:…] という、よく使う書き換え(ガウス記号の場合など)を当てはめると:
   [式:…]
   [式:…]
これを (B) の下側からの評価、上側からの評価に当てはめて:
   [式:…]

あとは各辺を [式:…] で割り、[式:…] として挟み撃ちです。

=======
追記 1: 上からもわかるように [式:…][式:…] に応じて決まる [式:…] の関数: [式:…] にあたります。Aquarius さんの計算は、[式:…][式:…] と無関係な定数として扱っているように見えますが、それが間違いです。

追記 2: 問題の被積分関数が単に [式:…] ではなく、[式:…] となっているのはなぜだろうと最初思ったのですが、前者の場合、[式:…] が直接求められますね。こちらについてもやってみてください。
(こちらの場合、最終的な答はコメント 8 の [式:…][式:…] に置き換えたものになる、というのは容易に想像がつくでしょう。)
平賀 譲 さん 2010/12/06 11:37:50 報告
17
安田先生

まさか安田先生から直接ご指導いただけるなどとは思ってもなく,今回このような機会をいただけたこと,感謝いたします.

先生のご指導により,この問題の解き方がわかりました.

[式:…] とおくことで,[式:…] 個の蒲鉾(失礼ながら先生のお言葉をお借りしました.)とその切れ端に分けて,切れ端の極限を考えられることがよく理解できました.

先生のコメントを読み進めていくと,途中にある数式
 > (π+2)k+α=1/6 n(n+1)(2n+1)-1
につきまして,右辺に +α が必要かどうかをお伺いできればありがたく思います.もし,右辺に +α が必要であれば,先生のおっしゃろうとしたことを十分に理解することができます.(どうせ [式:…] とするので 0 になってしまい,非常に些細な質問で申し訳ございませんが,折角の機会をいただけたことあり,先生のご指導を 100% 理解したいと思って申しあげました.)

その後,[式:…] を踏まえて,私は,不等式

[式:…] を利用してはさみうちしました.

先生のお言葉にもありましたが,式に翻弄されてしまい,[式:…] や定積分を求めることばっかり考えて式変形に走り,問題文にある式ですら見落としておりました.そのため,恥ずかしい話なのですが,
> a_1=0ですから,a_1≦x≦a_2の面積が2^2
ということすら疑問に持っておりました.こんなくだらない質問をして,先生の貴重なお時間を無駄にするのは申し訳ないと思い,それこそ必死になって考えたところ,最初の問題文に [式:…] を代入しただけだったと気づかされました.今後,問題文に与えられた数式の幾何的な意味をもっと考察する必要があると,先生のご指導により,自ら反省することができました.

お忙しいところ本当にありがとうございました.
Aquarius さん 2010/12/07 17:10:29 報告
18
平賀先生

私の解答のどこがいけなかったのかまで,本当にご丁寧にご指導いただきありがとうございます.おっしゃる通り,[式:…][式:…] と無関係な定数と捉えていたために解答することができませんでしたが,先生のご指導により,解き方がわかりました.

先生のコメントを繰り返し読んでいる途中で,[式:…][式:…] の関数ならば,[式:…] をどのように扱えばいいのだろうか,と自問自答しておりました.ところが,先生の解法では,

[式:…]

という,右辺と左辺に [式:…] を含んでいる不等式が,いつの間にか

[式:…]

という,右辺と左辺に [式:…] を含んでいない不等式に変わっていました.これに気づいたことにより,私の解法では限界だった理由がとてもよく理解できました.

また,先生からいただいた類題を考えてみたいと思います.併せて,平均値 [式:…] による解法もしっかり確認しておきます.

お忙しい中,何度もご指導いただき,ありがとうございます.
Aquarius さん 2010/12/07 17:36:00 報告
\documentclass[fleqn,12pt]{jsarticle} \setlength{\topmargin}{-2cm} \setlength{\mathindent}{3zw} \usepackage{amsmath} \begin{document} 積分で定められた数列の極限のちょっとした練習問題です。 受験生の皆さん考えてみましょう。 \ 問題 数列 $ \{ a_{n} \}_{n=1,2,3,\cdots} $ を, \[ a_{1} = 0 \] \[ \int_{a_{n}}^{a_{n+1}} \left( 1 + \left| \sin x \right| \right) dx = (n+1)^{2} \] で定める. \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{n^{3}} \] を求めよ. \end{document}