整数問題

33846 さん

  • 公開日時: 2010/11/15 17:41
  • 閲覧数: 5405
  • コメント数: 7
  • カテゴリ: 研究・考察

最近考えて,いまだに分からない問題です。

どなたか,助けてください。

 

以下問題です。

 

自然数nについて

[式:…]

を考えます。

ここで,

[式:…]

[式:…]

のように平方数になる[式:…]が無限に存在することを示せ。

 

というものです。

(もとの問題は,『3角数であると同時に平方数である整数が無限にあることを証明せよ』です)

ヒントでもいただければ幸いです。

よろしくお願いします。

 

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No メッセージ 投稿者 日時    
1
これは結局、「ペル方程式」:
  [式:…]
が無限に多くの解を持つことに帰着されるというのはいいでしょうか?
  [式:…]
[式:…] は互いに素、一方は偶数なので、偶数のほうを2で割ったものも奇数のほうもいずれも平方数だからです。

ペル方程式についてはとりあえず検索してみてください。
平賀 譲 さん 2010/11/15 17:51:32 報告
2
「三角平方数」で検索すると色々出てきますよ^^



まっきー さん 2010/11/15 18:38:37 報告
3
平賀先生、まっきーさん、
解答のヒント方針ありがとうございます。
ペル方程式について調べてみます。
33846 さん 2010/11/16 10:07:09 報告
4
Hint 1: (2n+1)^2-2(2m)^2=1(m,n=1,2, ...)
近谷 邦彦 さん 2010/11/16 11:42:33 報告
5
[式:…]
nとn+1は互いに素なので
より,互いに素な2つの自然数s,tによって
[式:…]
[式:…]
のどちらかになるため平賀先生の言うような
ペル方程式[式:…]
に帰着できると理解してよろしいですね。
33846 さん 2010/11/16 12:27:59 報告
6
はーい、そうです。
なお「ペル方程式」というのは厳格には右辺が 1 の場合だけ使うみたいで、-1(やその他の数)の場合は含めないらしいですが、そこらは実際にはかなりルーズです。(そもそも「ペル」という名称(人名)自体が(オイラーの)間違い、ということでもあるし。)

==========================================
余計なことを書いたので、いっそ、ペル方程式簡易講座。

ペル方程式の解を考える一番の基本になるのが次の事実です。
  ペル方程式:
    [式:…]     (一般には [式:…]
  の2組の解を [式:…] とする(両者は同じでもよい)。
  このとき、
    [式:…]
  左辺を展開・整理すると:
    [式:…]
    [式:…]
                  [式:…]
    [式:…]

つまり [式:…] もやはり解になります。[式:…] がすべて自然数なら、この2数はそのどれよりも大きい値をとりますから、新しい解が作れたことになります。これを繰り返すことにより、いくらでも新しい解を作ることができる、つまり解は(1つ存在すれば)無限にあります。
これは [式:…][式:…][式:…] に置き換えた一般のペル方程式でも同様です(ただし [式:…] は平方数ではない)。

特に最小の自然数解を [式:…] とすると、任意の解は
   [式:…]
   [式:…]
という漸化式で得られることが知られています。
今の場合、最小自然数解は [式:…] なので、
   [式:…]
   [式:…]

一方、
   [式:…]
についても同じ方法をあてはめると、右辺は [式:…] のいずれかの値になります。最小自然数解 [式:…] に対し:
   [式:…]
   [式:…]
とすると、[式:…] が奇数のときは [式:…]、偶数のときは [式:…] となるすべての解が構成できます。
平賀 譲 さん 2010/11/16 12:37:29 報告
7
平賀先生へ
丁寧な講義をしていただきありがとうございます。
先生の講義によって,解を無限に作ることができる
ということを理解できました。
33846 さん 2010/11/17 07:32:12 報告