平面図形

mayo さん

  • 公開日時: 2010/11/13 12:48
  • 閲覧数: 6445
  • コメント数: 14
  • カテゴリ: 入試・教育

半径の長さがrの円の直径ABの延長上の1点、Pを通るこの円の接線の接点がQで、

線分PQの長さが[式:…] rであるとき、線分AQとBQの長さを求めよ。

 

この問題の解き方を詳しく教えていただけますか?

よろしくおねがいします。

 

 

 

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No メッセージ 投稿者 日時    
1
三角形OPQは、∠OQP=90°の直角三角形(これは、よく知っている形の三角形です。)あとは、余弦定理を利用してみましょう。

また、三角形ABQが∠AQB=90°を利用してもよいと思います。
点Pが、ABのどちら側にあるかで、AQとBQの長さが入れ替わります。
クロニャンコ さん 2010/11/13 13:04:13 報告
2
A→B→Pの順に並んでいるなら、
①方べきの定理からPQ^2=PB・PAを利用してPBが求まる。
②次に、△PBQ∽△PQAよりQBとQAの比を出して、あとは△BQAで三平方の定理を用いてBQとQAが求まる。

ぱっと見てこう思いついたのですが、筋悪な気が・・・涙

まっきー さん 2010/11/13 16:59:08 報告
3
余弦定理など必要なかったです。

図をそのまま利用すれば求まります。


クロニャンコ さん 2010/11/13 18:18:41 報告
4
Sorry, I have deleted this.
近谷邦彦 さん 2010/11/13 22:25:43 報告
5
皆さん詳しく教えていただきありがとうございました。
この問題は、点PがBの方に延長されています。
説明不足ですみませんでした。

質問なのですが、OQとOBは長さが等しく、△OBQは二等辺三角形に
なりますか?
mayo さん 2010/11/14 12:21:28 報告
6
確かに二等辺三角形になります。

もう少し考えると正三角形になることが
わかると思います。
クロニャンコ さん 2010/11/14 12:44:50 報告
7
△OQBにおいて、OQ=OBならOQとOBは円Oの半径なので
三角形OQBが三角形になることがわかるのですが、
OQとOBの長さが何で同じになるかがわかりません。
mayo さん 2010/11/14 14:22:25 報告
8
図を描いて考えてみてください。

点Bと点Qは原点Oを中心とする半径rの円周上に
ありませんか。

もし、OB=OQが分からないのなら、∠QOBが何度になるか
考えてみてください。
クロニャンコ さん 2010/11/14 16:01:26 報告
9
OQ=OBはわかりました。
OQ=OB=QBになる理由がわかりません。
mayo さん 2010/11/14 16:30:02 報告
10
8.のコメントOB=OQ,
と書いたところは、OB=BQのつもりでした。
ごめんなさい。

∠QOB=60°ですよね。また、OB=OQですから
∠OBQ=∠OQB、三角形の内角の和は、180°
これでどうでしょう。
クロニャンコ さん 2010/11/14 17:15:43 報告
11
本当に何回も申し訳ないのですが、∠QOB=60°となる
理由がまずわからないので説明していただけますか?
mayo さん 2010/11/14 17:25:52 報告
12
本当に何回も申し訳ないのですが、∠QOB=60°となる
理由がまずわからないので説明していただけますか?
mayo さん 2010/11/14 17:25:53 報告
13
⊿OPQは、∠OQP=90°、OQ=r,[式:…]の直角三角形。

OP=2r これは、3辺の比が、[式:…]という
代表的な直角三角形です。 

したがって、∠QOB=60°です。
クロニャンコ さん 2010/11/14 17:56:49 報告
14
やっと理解することができました。
何回も詳しく説明していただきありがとうございました。
mayo さん 2010/11/14 18:03:42 報告