質問:88年東大理系

  • 公開日時: 2010/11/10 14:59
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  • コメント数: 4
  • カテゴリ: 入試・教育

以下の問題についてです。
問題.
Cをy=x^3-x、-1≦x≦1で与えられるxy平面上の図形とする。次の条件をみたすxy平面上の点P全体の集合を図示せよ。
「Cを平行移動した図形で点Pを通り、かつ、もとの図形Cと共有点がただ1点であるようなものがちょうど3個存在する」

やりかたとしては、Cをx軸方向2a,y軸方向2b平行移動した曲線をDとすると、CとDは点A(a,b)に関して対称であるから、CとDの共有点がただ1個であるための条件はCとDが点(a,b)のみを共有することである・・・
と議論を進めていくのですが、2つの図形CとDが点Aに関して対称である事に気づかないとこの問題は解けないでしょうか?
それに気づかずとも解ける方法がわかる方がいらっしゃったら、教えてもらえますか?

よろしくお願いします。

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1
C':y=(x-a)^3-(x-a)+b (a-1<=x<=a+1) かつ
CとC'が接する条件(D=0)を満たす実数(a, b)が
ちょうど3個存在する条件を考えれば普通に解けるとは思いますが,
試験本番では, 難問でしょう。

あとは, 包絡線(偏微分)でしょうか。個人的には,あまり好きではない。
近谷邦彦 さん 2010/11/10 16:14:33 報告
2
まず,
まっきーさんの示された解答は,いきなり平行移動量を2a,2bとしていますが,なんで2aなのでしょうか?
それは,いろいろいじったあげくの,まとめた解答でしょう?

平行移動量をa,bとするのが普通でしょう?
元が
y=x^3-x,-1≦x≦1
で,平行移動したものが
y=(x-a)^3-(x-a)+b,a-1≦x≦a+1
です,

共有点を考えるから,連立させます.
3ax^2-3a^2x+a^3-a-b=0
になります.
一度式の計算を始めたのだから,図形的な考察に戻るのは実戦的ではありません.その2次方程式だけを見ます.

曲線の範囲があるので,単純に判別式=0とするわけにはいきません.
ただ1点で交差する形があるかもしれないからです.
実際,この問題を解き始めたとき,私は「接するだろうね.でも,曲がった2本の針金が1点で交差する形もありか?」という,2つの思いが交錯しました.
なぜ判別式=0とするのかを論証するのが第一のポイントです.

その2次方程式を見て,軸の位置がa/2なので,a/2に関して左右対称な解を持つ可能性があります.ただし,ここで範囲を考慮します.
「x=a/2+uが解ならx=a/2-uも解になる」ことを言います
x=a/2+uを上の範囲の式に入れます.
-1≦x≦1,a-1≦x≦a+1
にx=a/2+uを代入すれば,
-1≦a/2+u≦1,a-1≦a/2+u≦a+1
これより
-a/2-1≦u≦-a/2+1,a/2-1≦u≦a/2+1
これを同時に満たす場合
a>0なら
a/2-1≦u≦-a/2+1
になり,a≦0なら
-a/2-1≦u≦a/2+1
になります.よくわからないならa=1/4とa=-1/4のような場合にどう範囲が決まるかを確認してください.
結局(absは絶対値)
-1+abs[a/2]≦u≦1-abs[a/2]
になります.つまり,
abs[u]≦1-abs[a/2]
です.したがって「x=a/2+uが解ならx=a/2-uも解になる」(たとえばu=1/8で成り立つならu=-1/8でも成り立つ)から,u≠0なら2交点があり,不適です.だからx=a/2が解になるしかない,つまり,判別式=0です.

このように,
>CとDが点対称であること
に気づかなくても解けます.拙著「東大数学で1点でも多く取る方法」に一般的な話を書きました(この問題は掲載されていません).世間の解答は,何時間も考え,他社の解答を見て,皆で相談し,整理し直した解答が多いです.2a,2bとおくのもその一つです.こういういじくりまわした解答を見ていては試験場で何を考えたらよいか?は身につきません.

「点対称」ということを書かれていますが,試験のときにそんなことに気づくでしょうか?というか,そんなことを安易に断定する自信がありますか?私なら「そうかもしれないな」と思っても,それは使いません,はずれていたら,その後の計算と時間が全部パーです.
落ち着いて考え,皆と相談するから「点対称でいいんだ」と思うのではないですか?
試験なら式だけで行けるところまでいくのが安全に思います.
安田 亨 さん 2010/11/11 00:39:30 報告
3
>spectatorさん
コメントありがとうございます。問題を見たときは直感的には、接するときしかないかも?という感じでしたが、接しないで1点で交わる場合をはじくとしても(対称性に気が付かなかったとしたら)どうはじくか、というのが分かりませんでした。もともとこの問題は解けずに、解答をみて「対称性なんて思いつかない・・・」と思って投稿させてもらった次第です。
まっきー さん 2010/11/11 20:23:15 報告
4
>安田先生
自分が解いたときは連立方程式を立てたあとに解が1つ、というのは、放物線とx軸の共有点の個数が(もともと2個あるものが)範囲によって1つにしぼられるのか、それとも接して1個になるのか、式だけだとどう処理したらいいものか、分かりませんでした。
コメントを読んで、よく分かりました。
「東大数学で1点でも多く取る方法」は文理ともに購入し、理系の方は1周しました。解法も観賞用のものではなく、全体として実戦的で「限られた時間内で解かなくてはいけない人間」の立場に寄り添った内容なので何回も読むに値する本だと思います。
お忙しい中、こんなにも丁寧にコメントして下さり、どうもありがとうございました。
まっきー さん 2010/11/11 20:34:01 報告