Re:東工大1-2

  • 公開日時: 2010/11/08 23:17
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  • カテゴリ: 入試・教育

東工大1-2 sit33846さんのつづきを考えました。

0<a≦b≦c<a+b として一般性を失わない。

c=xとして、解答を続けます。[式:…]とおく。(ただし、0<a≦b≦x<a+b)

[式:…][式:…][式:…][式:…] (なぜならば、0<a≦b≦x<a+b)ゆえに、b≦x でf(x)は、単調増加。

[式:…] なぜなら、

[式:…] 等号成立は、a=b このときの三角形は正三角形。

  [式:…] ここで、a ->0のときf(a+b)->2

このような三角形を考えることができる。 ゆえに、[式:…] が示せた。

同様に、微分を利用することで 0≦a≦b≦c のとき、[式:…]  の証明を考えました。こちらのほうは、第2次導関数まで使いました。

上記の不等式は、きれいでしたので 

2009年の大学への数学4月号に、栗田先生の微分を使わない方法が載っていたのを記憶しています。とてもうまい変形がしてありました。

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No メッセージ 投稿者 日時    
1
微分したあと,
(a+b)x^2+2abx-(a+b)(a^2+b^2)
を因数分解されていますが,そんなことに気づくのでしょうか?
私は気づかなかったし,気づく必要もありません.どうせ,単調に決まっているのです.
微積分のよいところは,あまりそういうところで工夫しなくてもよいところにあります.
g(x)=(a+b)x^2+2abx-(a+b)(a^2+b^2)
として,g(x)はx≧bで増加です.だからg(x)の符号が調べたいなら
g(b)だけ見ればいいのです.
g(x)≧g(b)=2ab^2-(a+b)a^2=a(b-a)(2b+a)≧0

大数の同じ号の,栗田さんの原稿よりもっと前の方に私の「勉強の仕方」の話があります,そこに,私の微分による解答があります,2回微分する必要はありません,上と同じように,できます.
安田 亨 さん 2010/11/09 01:47:37 報告
2
安田先生 ご説明ありがとうございます。

 f'(x)の分子を考えると、2次関数で軸が負にある。b>0なので
 g(b)だけ調べればよい。完全に抜けていました。

 安田先生の4月号(勉強の仕方)も読んだのですが、問題までは記憶に ないのかやってなかったのか。75年 ソ連数学オリンピックの問題だっ たんですか。勉強不足、努力します。

  
クロニャンコ さん 2010/11/09 19:10:57 報告
3
To be exact, a^3+b^3+c^3+3abc>ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a).



近谷 邦彦 さん 2010/11/10 11:56:51 報告