能天鬼 さんがコメントした問題詳細

能天鬼 さんがコメントした問題の一覧です。
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閲覧 中学数学の図形の問題です [∠Cが未設定の場合、中学生(正弦定理×)だと]

《AC=4√7 をコーギーさんと同様に求めてから》

①【外心の定義から】
 △ABCの外心をOとすると、△OAB △OBC △OCA はいずれも二等辺△で、それぞれの底角を● 〇 × とすると、●+〇+×=90°と∠B=●+〇=60°より、×=30°。CAの中点をMとすると、△AOMは60°定規型の直角△でAM=AC/2=2√7 なので、求める半径(AO)=(4√21)/3…(答)

②【円周角と中心角から】
 △ABCの外心をOとすると、∠AOCは、∠Bを円周角にとする弦ACの中心角なので120°。外心の定義より△AOCは二等辺△であり、CAの中点をMとすると、△AOMは60°定規型の直角△でAM=AC/2=2√7 なので、求める半径(AO)=(4√21)/3…(答)
2020/12/19 21:56
閲覧 ベクトルで解く?図形と方程式の知識... [安直穴埋め方式]

【点Dの座標】
A(Xa,Ya) B(Xb,Yb) C(Xc,Yc) D(Xd,Yd) とすると、対角線 AC と BD の中点が一致することから、Xd=Xa+Xc-Xb=-1+1-2=-2、Yd=Ya+Yc-Yb=0+3-1=2。
点D(-2,2)…(答)

【□ABCDの面積】
△ABC×2なので、△ABCを求めて2倍する。
E(2,0) F(2,3)として、台形CAEF (CF//AE)をつくる。
△ABC=(CF×BE+AE×FB)/2=(1×1+3×2)/2=7/2 より、□ABCD=7…(答)

[∵台形CAEF (CF//AE) の辺FE上に点B がある場合、以下が成り立つ]

△ABC = 台形CAEF-(△ABE+△BCF)
= [{(CF+AE)×FE}-{(CF×FB)+(AE×BE)}]/2
= [{(CF+AE)×(FB+BE)}-{(CF×FB)+(AE×BE)}]/2
= {(CF×BE)+(AE×FB)}/2
2020/12/19 23:07
閲覧 二次関数の決定 能天鬼です。

ま、まぁ、これくらいは常識で瞬殺ですよね‥‥(蚊の鳴くような小声で)

(高校生になって一年近く経つのに、先日まで連立2元1次方程式を立てて解いていたことは絶対秘密である)
2020/12/21 22:34
閲覧 面積比 ( 外接円 / 内接円 ) 能天鬼です。

クロニャンコ さん ありがとうございます。
僕の求めたのと同じ答えで、ホッとしています。
僕の考えた解答は次の通りです。

【解答】 外接円の半径を R、内接円の半径を r とする。
S/s = (R/r)^2 R>0 r>0 より、S/s が最小値をとるのは R/r が最小になるときなので、R/r の最小値を考える。

「半径Rの円に内接する直角△」は、半径Rの円の直径(両端をB、Cとする)と半円弧(B、Cは除く)上の動点Aで作る△ABCで全て表せる。

そこで、Rを固定して図形的に考えると、内接円が最も大きくなる(= r が最大になる= R/r が最小になる)のは、△ABCが直角二等辺△になるとき(*)で、(R+r)√2 = 2R が成り立つので、R/r = 1+√2。

よって求める最小値は (1+√2)^2 = 3+2√2…(答)


この解法、(*)がウサンクサイですよね。「図形を想像してみてよ。分かってくれるよね?」的な so sweeeet な感じが…
もっとビシッと決める「数学的な」解法があれば教えてください。よろしくお願いいたします <(_ _)>
2020/12/22 21:02
閲覧 面積比 ( 外接円 / 内接円 ) 脳天鬼です。
クロニャンコさん ありがとうございます!
三角関数は少しは分かるのですが、微分はまだ脳天鬼には早いかも…
冬休みに青チャで勉強してみようと思います!
2020/12/23 19:37
閲覧 面積比 ( 外接円 / 内接円 ) 脳天鬼です。

prime 132さん、ありがとうございます!

お手数ですが、一つ教えていただけないでしょうか。

5行目から6行目の不等号の前後で
r=‥‥=(b+c-a)/2
=(b+c-2R)/2
=(b+c)/2-R なので、(b+c)/2≦√(b^2+c^2)/√2…① を適用して不等号の次の式が導かれているようです。

その時のprimeさんのココロは『(b+c)/2 を R で表したい→それには b^2+c^2=4R^2 が利用できそう→ b^2+c~2 を含む不等式がないだろうか→そうだ!①を使おう!』だと推測されます。

①の不等式が実数 b c について常に成り立っているのは理解できる(2乗して移行して証明できた)のですが、①が登場した背景は次のどちらでしょうか。

1.予め知識として知っていたので使った。
2.式のカタチをみて、なんらかの不等式を利用してその場で導き出した。

もし2.だった場合は、何をどのように考えて導き出したのか、どうか教えてください<(_ _)>。
(僕なりに三角不等式とか相加相乗平均とかイロイロ考えてみたのですがギブアップです‥‥)

2020/12/24 21:55
閲覧 【整数】各位の和と倍数 OTANTANさん ありがとうございます!

「下2桁が4の倍数なら、その整数は4の倍数」は習ったのですが、8の倍数は知りませんでした。勉強になりました!
2021/02/08 21:57
閲覧 【今日チャレ!】解けません! 今日一日考えてみました。もし「上1桁の数字が1であり」がなければ、以下のように解ける気がします。

S を「 N および 3N の各位の数字の和」とする。
3N は3の倍数なので S は3の倍数。S が3の倍数ということは、N は3の倍数。
すると、3N は9の倍数ということになるので、3N の各位の数字の和である S も9の倍数ということになる。
そして、S が9の倍数ということは、N も9の倍数なので、それを9で割った余りは0。

これが想定解答だったのかも。もしそうなら、N を特定せず9で割った余りだけを求めるなら「最小のもの」という条件は不要かなと思いました。
2021/02/16 19:43
閲覧 【今日チャレ!】解けません! 《追加》そもそも「上1桁の数字を下1桁の数字と取り替える(例えば12345の場合52341となる)と元の値の3倍の大きさになる正の整数」って存在しないのでは?
2021/02/16 20:31
閲覧 【今日チャレ!】解けません! 【「上1桁の数字を下1桁の数字と取り替える(例えば12345の場合52341となる)と元の値の3倍の大きさになる正の整数」は存在しない証明?】

N と3N は同桁の数なので、N の上一桁は3以下(∵4以上だと同桁にならない)

N の桁数を k として、N の上一桁が、

1の場合:3N の下一桁は1なので、N の下一桁(すなわち 3N の上一桁)は7に確定。ところが、N <2×10^(k-1) →3N < 6×10^(k-1) なので3N の上一桁は7をとれなくて不適。
2の場合:3N の下一桁は2なので、N の下一桁(すなわち 3N の上一桁)は4に確定。ところが、N >2×10^(k-1) →3N > 6×10^(k-1) なので3N の上一桁は4をとれなくて不適。
3の場合:3N の下一桁は3なので、N の下一桁(すなわち 3N の上一桁)は1に確定。すると、N >3N となり不適。

以上より「上1桁の数字を下1桁の数字と取り替える(例えば12345の場合52341となる)と元の値の3倍の大きさになる正の整数」は存在しない。■

どうでしょう?
2021/02/17 21:28
閲覧 【今日チャレ!】解けません! 「上1桁の数字を下1桁の数字と取り替える(例えば12345の場合52341となる)と元の値の3倍の大きさになる『同桁の』正の整数」が存在するならば、
prime さんの式 [ (Nの下1桁の数字-上1桁の数字) × 9…9 = 2N ] が成り立つと思うのですが、この場合 前提が成り立ってないので妙な具合になっているのではと思います。
2021/02/17 21:48
閲覧 駆け込み投稿です1 >1)

問題文は「 x >1 ならば△が必ず成立する」とは言っておらず、「この問題は x >1 の範囲で考えればいいよ」と言っているだけ。

だから、x >1 の範囲に、与えられた3式が表す長さを3辺とする△が成立する x が存在することは保証するが、x の値によっては△が成立しない場合もあるかもしれない。

△の内角の最大角を議論しようとしているのに、△が成立しない場合も含めた x の範囲で考えるのは致命的マチガイなので、先ずは△が成立する x の範囲を確定させなければならない(解説では、この作業を「確認する」と表現している)。

そこで各辺長の大小比較と三角不等式を使って「確認」すると「△の成立条件は x >1 」と「最大辺は x^2 + x + 1 である」ことがわかる。

今回、問題文の「 x >1 とする」と「△の成立条件は x >1 」が一致したのは偶然であり、一致する必然性は全くないと思います。



>2)

確かに、cosθの計算式を立てる前に、x >1 の範囲では与えられた3式の値がすべて正の数であることは示しておいた方がいいと思います。

だだ、それは最後の約分のときに問題になるのではなく、最初の立式の時に問題にするべきだと思います。(分母=0になる式を立てて変形しても意味はないかも)
2021/02/24 22:23
閲覧 駆け込み投稿です2 x = 5…◎、 x^2 = 25…● とする。

◎⇒● だけど、●⇔◎ではない(●⇔ x=±5)。つまり◎と●は同値ではない。

「辺々を2乗する変形」は必ずしも同値変形ではないのだから、2乗したもの(同値でなくしたもの)を代入した結果( x^2+(2x-5)^2=25 )のみ残して①を消してしまうと、それは同値変形していることにならない。

この説明じゃだめでしょうか?
2021/02/24 22:25