prime_132 さんがコメントした問題詳細

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閲覧 2次曲線上の 全ての格子点 F(C1)
16YY{(X/Y-2)^2+(1/Y-1/4)^2-1}
=16XX-64XY+49YY-8Y+16
=16X'X'-64X'・Y'+49Y'Y'+256/15
=(65+√5185)/2・ηη-(-65+√5185)/2・ξξ+256/15,
なので双曲線。ただし、
X'=X+8/15,
Y'=Y+4/15,
(峠点・鞍点からの相対座標)
ξ=cosα・(X+8/15)+sinα・(Y+4/15),
η=-sinα・(X+8/15)+cosα・(Y+4/15),
(軸の回転)
tan(2α)=64/33,
とおいた。
2016/11/05 07:55
閲覧 2次曲線上の 全ての格子点 F(C2)
YY{(X/Y-2)^2+(1/Y-1)^2-1}
=(X-2Y+2/5)^2-(2/5)(2X+Y)+21/25
=5ηη-(2/√5)ξ+21/25,
なので放物線。ただし、
ξ=(2X+Y)/√5,
η=(2Y-X-2/5)/√5,
とおいた。
2016/11/05 08:22
閲覧 2次曲線上の 全ての格子点 F(C1)
 双曲線(hyperbola)
●(X,Y)=(4,4)

F(C2)
 放物線(parabola)
〇(X,Y)=(4nn+6n+3,2nn+2n+1) nは整数
2016/11/05 23:54
閲覧 2重接線 二重接線をy=ax+bとおく。
(x^3+1)(ax+b)-x=a(xx+cx+d)^2,
を解いて
a=1/9,b=4/9,c=2,d=-2,
∴y=(x+4)/9,

接点のx座標は
xx+cx+d=(x+1)^2 -3=0 から
x=-1±√3,
y=(3±√3)/9,
2016/11/06 01:47
閲覧 束縛条件 のもとで (x+y)^2=2(xx+yy)-(x-y)^2≦2(xx+yy),
∴|x+y|≦√{2(xx+yy)}=6,

(2)
(与式)=(x+y-3)^2+3≦(-6-3)^2+3=84, (=最大値)
等号成立はx_2=-3, y_2=-3のとき。

(4)
(与式)=(x+y-3)^2+3≧3,  (=最小値)
等号成立は{x_4,y_4}={3(1±√3)/2}のとき。
2016/11/06 01:59
閲覧 π>3.05の別解 既出かも知れませんが。
ππ/6=ζ(2)
> Σ[k=1,11] 1/kk
= 239437889 / 153679680
> 14 / 9
よりπ > 2√(7/3) > 61 / 20 = 3.05
また、
(π^4)/90 = ζ(4) > 1 より
π > 90^(1/4) > 3.08
2016/11/06 03:16
閲覧 π>3.05の別解 バーゼル問題ですね。積分を用いないものは

・1/sin(x)^2=(1/4){1/sin(x/2)^2+1/sin((π-x)/2)^2},
 1/x^2 <1/sin(x)^2 <1+1/x^2 を使う
http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n80277
(文献)
Josef Hofbauer:Amer.Math.Monthly,109(2),p.196-200(2002/Feb)


・ドモアブルの公式と根と係数の関係から
 Σ[k=1,n]1/tan{kπ/(2n+1)}^2=n(2n-1)/3,
  (東京工大1990年後期第2問)

http://mathtrain.jp/basel
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwaNch04/node45.html
2016/11/07 01:40
閲覧 π>3.05の別解 バーゼル問題  定積分を使うものは

・cos(x)のベキ
I_n=∫[0,π/2] cos(x)^(2n) dx,
J_n=∫[0,π/2] xx・cos(x)^(2n) dx,
 (日本女子大・理 2003 自己推薦)
http://examist.jp/legendexam/2003-nihonjyoshi/
http://integers.hatenablog.com/entry/2015/12/03/180517
(文献)
Y.Matsuoka:Amer. Math. Monthly,68,p.486-487(1961)


・二重積分
 ∬[-1,1]^2 1/(1+2xy+yy) dxdy

(文献)
James D. Harper:Amer.Math.Monthly,109(6),p.540-541(2003/Jun-Jul)
Mircea Ivan:General Math.,16(4),p.111-113(2008)
http://www.emis.de/journals/GM/vol16nr4/ivan/ivan.pdf


また、複素関数を応用するもの(牛刀?)は

・cot(z)=1/z+Σ[n=1、∞]2z/{zz-(nπ)^2}
=1/z-Σ[k=1、∞] {ζ(2k)/π^(2k)}z^(2k-1),
(文献)
高木貞治「解析概論」改訂第三版、岩波書店(1961)、第5章、§64

↑「ビブンのことはビブンでせよ」と言いたいね。
2016/11/07 01:44
閲覧 Re:逆数の関係 そうですね。

n=2

a+b=k,
1/a+1/b=k,
は|k|≧2 又は k=0 のとき実解をもつ。

・|k|≧2 のとき
[式:…],

・k=0 のとき a=-b≠0

・0<|k|<2 のとき
 実解なし。
2016/11/07 02:21
閲覧 Max A={-1,0}
B={1,0}
P={Cos[t],Sin[t]}
Q={x,0}
とおくと、
AQ=1+x,
∠BOP=t  (0≦t≦π),
∠BAP=t/2,
AP=2Cos[t/2],
AP=AQより、2Cos[t/2]=x+1,
Sin[t]=(1+x)Sin[t/2]

(1)
△APQ=(Pの高さ)・AQ/2
=Sin[t]Cos[t/2]
=2s(1-ss)     (s=Sin[t/2]とおいた)
=4/(3√3)-(4/√3+2s)(1/√3-s)^2
≦4/(3√3)
=0.76980036
等号成立は s=1/√3、Cos[t]=1/3 のとき。
 AP=AQ=2Cos[t/2]=1.632993
 PQ=0.9892850

(2)
∠PAQ=t/2より
PQ=2AP・Sin[t/4]=AP√(1-x),
周の長さ=AP{2+√(1-x)}
=(1+x){2+√(1-x)}
≦(4/27)(14+5√10)
=4.4165020
等号成立は √(1-x)=(-2+√10)/3=0.3874259
 AP=AQ=1+x=(4/9)(1+√10)=1.8499012
 PQ=0.7166996
2016/11/08 01:59
閲覧 Max xの無理方程式になって解きにくいんぢゃね?
(1)の面積はSin[t/2]の3次式、
(2)の周の長さは2Sin[t/4]=√(1-x)の3次式、
を利用する方がいいと思うよ。
2016/11/08 19:42
閲覧 Re:逆数の関係 n=3

x + y + z = k,
1/x + 1/y + 1/z = k,
は、k≠0のとき実解をもつ。

・k≦-1 のとき (x,y,z) = (a,b,1)
 ここにa,b はa+b=1/a+1/b=k-1(≦-2)の解,

・k≧1のとき (x,y,z) = (a,b,-1)
 ここにa,b はa+b=1/a+1/b=k+1(≧2)の解,

・0<|k|≦1のとき
 [式:…]

 [式:…]

 (|k|≧3 のときにも使えそうだ…)

・k=0 のとき
 [式:…]
 = k(k-2xyz)
 = 0
 一方、x,y,z ≠ 0 としたから
 実解はない。
2016/11/09 04:52
閲覧 Re:逆数の関係 n=1
 k=±1 のとき実解をもつ。

n≧4
 つねに実解をもつ。
 n=2 を2組作ってたす。

分かりにくくてスマソ
2016/11/09 23:54
閲覧 Re:Review 2016 第 ... (略証)
kについての帰納法による。二項公式から

[式:…]

m=1 から m=x までこれをたすと

[式:…]

左辺は[式:…]を因数にもつ。
帰納法の仮定から、[式:…][式:…]を因数にもつ。
∴ [式:…][式:…]を因数にもつ。(終)
-------------------------------------
〔補題1〕
kが奇数(k≧3)のときは更に
[式:…]
を因数に持つ。(Faulhaber)

(略証)
kについての帰納法による。二項公式から
[式:…]

[式:…]

m=1 から m=x までこれをたすと
[式:…]

[式:…]

[式:…]
ここで
[式:…]
[式:…]
[式:…]
[式:…]
と表わされるので、[式:…] を因数にもつ。
帰納法の仮定から、[式:…][式:…] を因数のもつ。
[式:…][式:…] を因数にもつ。(終)
2016/11/10 09:23
閲覧 Re:Review 2016 第 ... 〔補題2〕
kが偶数(k≧2)のときは更に
[式:…]
を因数に持つ。(Faulhaber)

(略証)
kについての帰納法による。二項公式から
[式:…]

[式:…]

m=1 から m=x までこれをたすと
[式:…]

[式:…]

[式:…]
ここで
[式:…]
[式:…]
これは x=0, x=-1, x=-1/2 での値が0なので、因数定理により、
[式:…] を因数にもつ。
帰納法の仮定から、[式:…][式:…] を因数にもつ。
[式:…][式:…] を因数にもつ。(終)
-----------------------------------------------------
* 多項式として「因数にもつ」ことは、整数として「割り切れる」ことではありません。
2016/11/10 23:34
閲覧 逆数の関係 n=1 実解あり(x=a)

n=2 実解なし

n≧3 実解あり
アンドロメダ解
[式:…]
ここにαは [式:…] の実解:
[式:…]


・クロニャンコ解
[式:…]
とするとnを2だけ低減できる。(クロニャンコ法)
nが奇数のときは実解が得られる。
2016/11/11 02:07
閲覧 Re:Review 2016 第 ... だいぶ横道に逸れてしまいましたが、ついでに...

Jocobi の式

[式:…]

(略証)
階差をとり、展開するだけ。
[式:…]
[式:…]
[式:…]
[式:…]
m=1 から m=n までたす。(ポルテ氏による)

[式:…]

[式:…]

(略証)
階差をとり、展開するだけ。
[式:…]
[式:…]
[式:…]
[式:…]
[式:…]
m=1 から m=n までたす。
(ポルテ氏による)

[式:…]

[式:…]

[式:…]

[式:…]

2016/11/11 03:02
閲覧 FAQ     不定方程式 x-3/4=X, y-1/2=Y とおくと、
4XX-20XY+YY+6=0,

漸近線:
Y=2(5±2√6)X,

格子点:
(x,y)=(1,3) (2,1)

半格子点:
(x,y)=(1/2,-2) (-1/2,0)


その他:
tt-98t+1=0の根α、βのベキ和で表わせる、1/4点の系列がある。
2016/11/12 08:50
閲覧 微分可能でないことの生徒の証明は適切か? たしかにx=0でf"(x)は不連続ですが、
それからf"(0)は存在しない、とは言えませんね。
2016/11/13 07:44
閲覧 行間を埋める ことの お願い 与式を平方完成して、
x^4 -12x^3 +4 x^2 +200x +200
=(x^2 -6x-16)^2 +8x -56
={(x-8)(x+2)}^2 +8x -56,
∴接線は
y=8x-56
2016/11/13 08:19
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